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圆凹〔1〕
一
镜本平面，刳〔2〕空为圆，故弧与凸同，用与凸反。
【注释】
〔1〕圆凹：球面透镜中的凹透镜。
〔2〕刳：挖空，掏空。
【译文】
镜片本来是平面，挖空就成为球面，所以弧形与凸透镜相同，作用与凸透镜相反。
二
凹之深者，无过百八十度，度渐少，凹渐浅，难以量取，惟有侧收限可凭。若欲与凸通为一例〔1〕，则借算虚取之〔2〕，为凹深限。凹愈深，限愈短，悉同乎凸，第是侧收限短至一分止矣。《远镜说》称，有洼如釜者，〔3〕其侧收限应最短，已鲜所用，姑略焉。
【注释】
〔1〕“通为一例”之说在此书中反复出现，可以视为郑复光的重要的科学思想，反映了他对科学理论应具有统一性、科学概念之间应有相关性的认识。
〔2〕借算虚取之：指借用凸透镜顺收限的相应数值而取得虚拟的凹透镜深限。算，在此指数额或数目。
〔3〕《远镜说》云：“夫镜有突如球、平如案、洼如釜之类。”
【译文】
深的凹透镜，［其弧度］最多不过180度，弧度越少，凹度越浅，测量起来比较难，只有侧收限可以凭借。如果要和凸透镜贯通为一种规则，那就借用［凸透镜的］数值来虚拟取值，作为凹透镜的深限。凹透镜度数越深，深限越短，一切和凸透镜相同，只是侧收限短到1分就为止了。《远镜说》称，有凹得像釜的，它的侧收限应该是最短，那已经不大有用，姑且从略。
三
凹通光者，其形三：有一凹者，有两凹相等者，有两凹不等者，其理悉与凸同，故一凹者曰单凹，两凹等者曰双凹，两凹不等者曰畸凹，名各从其例焉。
【译文】
凹透镜有三种形状：有一面凹的，有两面凹度相等的，有两面凹度不相等的，道理上都跟凸透镜相同，所以一面凹的叫单凹，两面凹度相等的叫双凹，两面凹度不相等的叫畸凹，名称都分别依照凸透镜的体例。
四
凹无顺限，以其侧限为深，未为不可，缘畸凹必须会计两面，故借凸率虚取之。本章二。其法：
双凹用双凸率，置〔1〕正面侧收限数，以四乘之，为凹深限。单则单凸率，置正面侧收限数，以六乘之，为凹深限。畸则畸凸法，以正面侧限除副面侧限得其倍数，按倍数两界自一倍一至二倍九，求相当率数两界自四一至五九为其率，以乘正面侧限，为凹深限。并如凸法。〔2〕俱见圆凸六及圆凸七。
【注释】
〔1〕置：本为筹算用语，意为“布置”，指计算的第一步是先把已知数用算筹布置好。但此类简单计算未必真用算筹，句首的“置”字成为习惯用语，仅指先把已知数拿出来。
〔2〕这种套用凸透镜数据求凹透镜焦距的方法是不对的，详见“圆率”第二条及注。
【译文】
凹透镜没有顺限，以它的侧限为深度，不是不可以，只因为畸凹透镜必须同时考虑两面，所以借用凸透镜的换算率来虚拟。本章第二条。方法如下：
双凹透镜采用双凸透镜的换算率，设定正面侧收限的数值，乘以4，［得数］为凹透镜深限。单凹透镜则用单凸透镜的换算率，设定正面侧收限数，乘以6，［得数］为凹透镜深限。畸凹透镜就用畸凸透镜的规则，以正面侧限除副面侧限得出倍数，根据倍数的两个界限从1.1倍到2.9倍，寻找对应换算率的两个界限从4.1到5.9作为它的换算率，乘正面侧限，［得数］为凹透镜深限。一律跟凸透镜的规则相同。都见于“圆凸”第六条和第七条。
五
玻璃受光，必有两景：一面景，一背景。镜质二。故通光凹之面受光，与含光凹等；其背受光，与含光凸等。以凹景必成凸，故然。用其透照，实则凹象，故仍为凹用也。
【译文】
玻璃反光，一定有两个影像：一个是正面的影像，一个是背面的影像。“镜质”第二条。所以凹透镜的正面反光，与凹面镜相同；它的背面反光，与凸面镜相同。因为凹面的［反射］影像必定成为凸面，所以如此。运用它的透射时，实际上还是凹形，因此仍然起凹形的作用。
六
凹镜光线，因弯而生。圆理九。虽自镜边出线与凸〔1〕镜同，而凹散光本《远镜说》与凸异。凹弯在面与凸弯在背，向日发光，约行取景，则凹与凸同，是亦侧收限也。圆理九。此限专为凹所重。
【注释】
〔1〕凸：原刻作“凡”，误。
【译文】
凹透镜的镜光线，因［表面的］弯曲而产生。“圆理”第九条。虽然从镜片边缘发出镜光线这一点与凸透镜一样，但凹透镜发散光线根据《远镜说》这一点却与凸透镜不同。当凹透镜的曲面在正面以及凸透镜的曲面在背面时，对着日光反射，会聚取影，这一点凹透镜与凸透镜相同，这也就是侧收限。“圆理”第九条。这个限特别为凹透镜所倚重。
七
凹镜以通光为用，通光以透照为用。其对照，以用同含光，则与含光凹等。而含光凹与通光凸透照同，应附圆凸篇。圆凸二十八。
【译文】
凹透镜以透明为作用，透明以透射为作用。它的对照，因为作用与反射［体］相同，所以等同于凹面镜。而凹面镜与凸透镜透射［性质］相同，理应附在“圆凸”章。“圆凸”第二十八条。
八
凹镜背面所透凸象，用其对照，与含光凸等。而含光凸与通光凹透照同，只能照物形小，殊少所用，不多及焉。
【译文】
凹透镜背面所透出的凸形，用来对照，等同于凸面镜。而凸面镜与凹透镜透射［性质］相同，只能照出变小的物形，用处很少，就不多涉及了。
九
单凹与双凹，深浅异而用同。本章三。则单凹之理明，而双凹不烦辞费矣。
【译文】
单凹透镜和双凹透镜，深浅有别而作用相同。本章第三条。所以只要阐明了单凹透镜的原理，双凹透镜就无须赘述了。
十
凹镜线不可见，必于借光征之，亦与凸同，但无顺收限，故以侧收限为主。而其借光亦有发光、晕光，略与凸同。
解曰：
发光者，即侧收限所用也，与单凸之环面在背同法。以版片在上斜对取光，反映版上，先切镜，渐离，其光渐小，小极处见倒光体形，即侧收限。过限复大，远极力尽而止。晕光者，正对日光，透光于地，见镜微景之中又晕出虚光；如以凹向日，背切于地，凹之正面受日，透背而出，离地渐远，见一淡白大圆形于地，愈远益大，是为侈行，故不得有限，其生于镜光线，则与凸同也。
【译文】
凹透镜的镜光线是看不见的，必须在借光［反射］的情况下来测验，这一点也跟凸透镜相同，但是没有顺收限，所以以侧收限为主。而它在借光［反射］时也有发光和晕光，大致跟凸透镜相同。
解：
所谓发［反射］光，就是侧收限的依凭，与单凸透镜的曲面在背面时的［侧收限测验］方法相同。用一块板在镜片上方斜对以接收光照，使其反射到板上，先将板贴近镜片，然后逐渐离开，光斑逐渐变小，到了最小的位置就出现颠倒的光源形状，这就是侧收限。过了［侧收］限，［光斑］又逐渐变大，远到［光的］力道完全衰减为止。所谓晕光，［其情形是，以镜片］正对日光，光透过镜片到地上，呈现出镜片淡淡的影子里另有模糊的光晕；如果把凹透镜对着太阳，背面紧贴在地上，凹透镜的正面接受日光，透过背面射出，使镜片逐渐离开地面，就出现一个淡白色的大圆形在地上，越远越大，这时光线是发散行进，所以无法有一个限，但它产生于镜光线，却与凸透镜一样。
十一
凡侧收光线出于弯者，面为实，景则虚。凸面实，凹则实而虚。凹景虚，凸则虚而实。景附于面实，不附则虚。附体景凸实，凹景附体则虚。故单凸平面不应有限，而不然者，圆凸六。景附于体，而出自凸也。若单凹返景附体者，无侧限矣。〔1〕但发光如平镜。然虽无侧限，其深限自与单凸之率六同也，以单凹并单凸推算知之。〔2〕然则双凹、畸凹，其率亦必通为一例矣。本章四。
【注释】
〔1〕平凹透镜的平面对光，其第二表面呈对光凸面，不产生反射会聚光束。
〔2〕“单凹并单凸”是郑复光的一个极具创造性的重要实验，他将凸透镜和凹透镜密接，通过实验和推算，得出组合焦距的近似公式（见“圆叠”第十二条），并用以反推凹透镜的焦距。所以此书中借用凸透镜换算率求凹透镜焦距的方法有问题，但在“圆率”第四条中用“凸凹相切”法求凹透镜焦距却是正确的。
【译文】
对于因弧面而产生侧收光线的所有情况，弧面是实的，它的影就是虚的。凸面是实的，凹面则虽实而虚。凹面的影是虚的，凸面的影则虽虚而实。影附着在面上就是实的，不附着就是虚的。附着在镜体上的凸影是实的，凹影附着在镜体上则是虚的。所以单凸透镜的平面本不该有限，而事实并非如此，“圆凸”第六条。原因就在于影附着在镜体上，但是却来自凸面。至于单凹透镜的反射影像附着于镜体的情况，就没有侧限了。只是像平面镜一样发［反射］光。但是虽然没有侧限，它的深限仍然与单凸透镜的换算率6［的换算值］相同，通过把一枚单凹透镜和一枚单凸透镜合并来推算就知道了。如此则单凹透镜和畸凹透镜的换算率也就必然贯通为一种规则了。本章第四条。
十二
双凹者，晕光有两：一顺晕，见于透光地上；一反晕，见于发光壁上。
单凹者，以凹向日，其反晕固同于双凹之凹面，其顺晕尤为背线所应有。若以平向日，论其凹在背，虚景反照，则发光当有异，然试之却同平镜，是应异者而反同矣。论其凹下覆，光线约行，则顺晕宜必无，然试之却有晕光，是应无者而反有矣。后论详之。
【译文】
双凹透镜有两种晕光：一种是顺晕，出现在透射光到达的地面上；一种是反晕，出现在反射光到达的墙壁上。
单凹透镜，以凹面对着太阳，它的反晕自然与双凹透镜的凹面情况相同，它的顺晕更是背面光线应该具备的。如果以平面对着太阳，从它的凹面在背面来说，其虚影有反射，则发出的光应该有所不同，但实测却如同平面镜，这是本该不同的反而相同了。从它的凹面向下扣来说，镜光线会聚行进，则顺晕应该也是绝对没有的，但实测却有晕光，这是本该没有的反而有了。后文再详细讨论。
十三
透光者，反照之发光必淡，以透明不能阻其光故。镜资四。通光凹虽有侧收限，光必淡矣。
【译文】
透明体反射光必定较淡，因为透明不能阻挡光。“镜资”第四条。所以凹透镜虽然有侧收限，光必定较淡。
十四
通光镜能自照其景。本章五。单凹者，平面必有相肖之凹景。凹有光线，景亦有光线，但不可见耳。此光线透照则为用，返照则无权。盖光力锐入，透镜而过，虽凹面向日，其反照已淡，何况平面虚凹之景邪？又，平镜本能发光，且出于实面，而平面凹景发光既淡，且出于虚景，纵有微光，必为所掩而不见。此平面向日发光却同平镜之理也。本章十二。至其透照，虽凹面下覆，光线力大，射至背面，则背面之光线愈浓，使反照之虚凹愈显，即虚凹之线景亦显，且又与透照光体之线相顺，而背面实凹光线反不顺透照光体之线，故实凹之面无权，而虚凹之力见矣。此晕光之所以应无而反有也。本章十二。然而虽有晕光，盖亦淡矣。
【译文】
透镜能自己照出影像。本章第五条。单凹透镜，平的一面上一定有相似的凹影。凹面有镜光线，它的影也有镜光线，只是看不见而已。这种镜光线在透射时就发挥作用，反射时就不起作用。因为，光强劲地射入，穿透镜片出去，即使凹面对着太阳，反射也已经很淡，更何况是平面上的凹形虚影呢？再说，平面镜体本来能发［反射］光，而且出自实面，而此时平面上的凹影的反射光本就很淡，又是出自虚影，即使有微弱的光，也一定被［平面反光］所淹没而看不见。这就是［凹透镜］平面对着太阳反射，情形却如同平面镜体的道理。本章第十二条。至于说它的透射，虽然凹面向下扣，但光线力道大，射到背面，则背面的光线更浓，致使反照的虚凹更加突出，虚凹的镜光线的影也就突出，而且又和透射光束的光线同一方向，而背面实际凹面的光线反而不顺着透射光束的光线，所以实际凹面不起作用，同时虚凹的功效显出来了。这就是晕光本该没有却反而有的原因。本章第十二条。但是虽然有晕光，基本上也是淡的。
十五
凹镜是大光明。原光九，原〔1〕凸十五。故逼目视物，有合目不合目之分，而远于目则极明显。
【注释】
〔1〕原：为“圆”之误。
【译文】
凹透镜属于大光明。“原光”第九条，“圆凸”第十五条。所以尽管用它凑近眼睛去看物体时，有匹配眼睛和不匹配眼睛的分别，但只要离眼睛较远就非常清楚。
十六
通光凹切目视物，专为短视人视远设也。原目六。非短视及视近必昏，且伤目。盖目与凹合，则目线入镜线中，不合必拗故也。原镜八。若离目则见物小而极清，盖物与镜合，而目线出镜线外，视物如常故也。夫视物如常，又加以光明镜体，而摄以广行凹线，原线二，原镜八。所以为大光明也。
【译文】
用凹透镜贴近眼睛去看物体，是专门为近视的人看远处而配备的。“原目”第六条。不是近视眼和看近处这两种情况就一定会模糊，而且对眼睛有损。因为，眼睛与凹透镜相匹配，目线就会进入镜线之中，不匹配就必定抵触镜线。“原镜”第八条。至于［使凹透镜］离眼睛稍远就会看见物形变小并十分清晰，这是因为，此时物像与镜片合为一体，并且目线在镜线之外，就像平常看物体一样。像平常看物体一样，再加上明亮的镜片，又以凹面镜不平行的镜光线进行收束，“原线”第二条，“原镜”第八条。所以就成了大光明了。
十七
单凹以凹为正面，其凹实；而背有凹景，其凹虚。实凹有光线，其线虚而实；虚凹亦有光线，其线虚而虚。然得其用，不惟虚可当实，而实者反退处无权。故镜虽单凹，其合目者，反覆自同，与凸同论。
解曰：
睛凸深者，三角视物不能展而见远，原目六论。故以凹向远，是物平行入镜如丙，镜线展成三角如甲丙乙，合短视视法矣。以平向远，是物平行至卯入，反照之虚凹光线如子卯丑亦得三角视法矣。（图65）
图65
论曰：
目线自震到巽，必穿离坎；自艮到巽，必穿离兑，而不相拗，何也？（图66）
图66
凡物相拗者，必因乎实体，而凹在圆外。本章一。抑相拗者或因有实形，而光非有物；又或因他相淆杂，而线景则分背〔1〕而不交错；观图自明。又或因他相为难，而虚线则合并而得资助。是以所用在实线，则虚线自无所用；在虚线，则实线少力，故不相拗也。上论与凸同。下专论凹。
且凹主乎散，故能散日光至于无光。本《远镜说》。〔2〕夫散光之线，力亦不能碍目耳。如云不然，何以凸镜离目视远，能使物象不见，圆理十六。而凹极深者，常人切目视远，能使巨炬如香头一点，终不能使物景消灭乎？
【注释】
〔1〕分背：背对背。
〔2〕《远镜说》云：“后镜形中洼……所以照日光则渐散大光至于无光。”
【译文】
单凹透镜以凹面为正面，它的凹弧是实的；同时背面有凹影，它的凹弧是虚的。实的凹面有镜光线，这种线虽虚而实；虚凹也有镜光线，这种线虚而又虚。但只要运用得当，不仅虚的可以充当实的，而且实的还反而退居不起作用的地位。所以镜片虽然是单凹，但只要匹配视力，两面反过来复过去自然都等同，与凸透镜的解说一致。
解：
凸度深的眼球，通过三角目线看物体时不能展开去看远处，“原目”第六条论。所以以凹面对着远处时，情况是物体的光平行进入镜面如丙，镜线展开角度如甲丙乙，这就符合近视［矫正］的透视法则了。以平面对着远处，情况就是物体的光平行射到卯处进入镜片，反照形成的虚凹面的镜光线如子卯丑也同样体现了三角透视法则。（图65）
论：
目线从震点到巽点，必然穿过线段离坎；从艮点到巽点，必然穿过线段离兑，却不互相抵触，为什么？（图66）
大凡物体互相抵触，一定与实体有关，而凹弧是在圆周之外。本章第一条。而且所谓互相抵触，要么因为有实形，可是光并非实物；要么因为别的东西与之相混杂，可是镜光线的影却［与镜光线］背对背而并不交错；看图自然明白。要么因为别的东西跟它作对，可是虚的镜光线却［与镜光线］合并而得到资助。因此当实光线发挥作用时，虚光线自然不起作用；虚光线发挥作用时，实光线就使不上劲，所以并不互相抵触。以上与凸透镜的论说一致。以下专门讨论凹透镜。
而且凹透镜的作用主要在于发散，因此能散开日光直至无光。根据《远镜说》。把光散开的镜光线，力道也是不能妨碍目光的。如果说不是这样，为什么将凸透镜与眼睛拉开距离并透过它看远处，能导致物像消失，“圆理”第十六条。而度数很深的凹透镜，正常视力的人用它贴近眼睛看远处，能使大火炬显得像一点香头，却终于不能使物像消亡呢？
十八
凹镜切目，若非短视，及短视浅而凹深，则视物必昏。以凹过深，散睛之凸几平也。使引镜渐远，必有不昏之处，凹浅则短，深则长，应有定度，然因乎其人之目生差，目凸深则短，浅则长，不可为限也。
解曰：
目之射线虽有两种，一为丁己戊，一为甲乙丙，原目三。而物之成形，必有上下两界，如甲、丙，无两界则不成形。自乙分射甲、丙，赖此两线为用。故无论近视与否，皆不能舍此三角法。试论两人：
赵目线为甲乙丙角，与寅辰卯及壬巳癸二角俱等，自丑视子，自辛视庚，皆必昏矣。钱目线为申乙酉角，与寅午卯及壬未癸二角俱等，则自丑视子，自辛视庚，亦必昏。移午、移未，必不昏矣，各得其目线故也。而以两镜较，则辰子必短，巳庚必长。以两人较，则午子必短于辰子，而巳庚必长于未庚也。（图67）
图67
【译文】
将凹透镜贴近眼睛，如果不是近视，或者近视度浅而凹度深，那么看东西肯定模糊。这是凹度太深，就把眼球的凸形发散得几乎成为平面的缘故。假使把镜片渐渐移远，必定有不模糊的位置。该距离凹度较浅就较短，凹度较深就较长，应该有确定的尺度，但又由于各人的眼力不同而产生差别，眼球凸度较深就较短，较浅就较长，是不能设为限的。
解：
眼睛射出的目线虽有两种，一种是丁己戊，一种是甲乙丙，“原目”第三条。但物体之所以成为形状，必有上下两个边界，如甲、丙，没有两个边界就不成形状。目线从乙点分别射到甲点和丙点，依赖这两条线发挥作用。所以不论是否近视，都不能撇开这个三角［透视］法。试辨析两个人的情况：
赵某的目线为甲乙丙角，与寅辰卯和壬巳癸两个角都相等，从丑处看子处，从辛处看庚处，一定都是模糊的。钱某的目线为申乙酉角，与寅午卯和壬未癸两个角都相等，则从丑处看子处，从辛处看庚处，也必定模糊。把眼睛分别移到午处、未处，必定就不模糊了，这是各自适合其目线的缘故。而拿两个镜片来比较，则辰子必定较短，巳庚必定较长。拿两个人来比较，则午子必定比辰子短，而巳庚必定比未庚长。（图67）
十九
凹镜切目，视物较小，虽短视人亦然。而不甚觉者，以合目故。若离目，虽短视人必觉骤小，渐推渐小，必有小极之限；过限复大，至镜切物，称本形矣。此限必有定度，但目之距物，或远或近，不无伸缩，略与凸之顺收限同。〔1〕惟物距目过远，则出小入大一段遂成平行〔2〕，与凸独异者，凸既出限，复有倒限〔3〕故也。若夫凸之倒限出小入大〔4〕，乃与同科〔5〕，然无关大用，姑略焉。
【注释】
〔1〕这是描述凹透镜成像性质的总结性条目。由于凹透镜不生实像，无法直接测量，所以其成像性质就是四个字：“见物恒小”（“圆凹”第八条）。凹透镜所成之像，其像高总是随物距减小而增大，但用眼睛直接观察却不是这样。如果眼睛与物体相距为D，眼睛与凹透镜之间的距离可变，设为x，焦距为f，那么眼睛对像张开的视角正比于下式：
上式在x≤D的范围内，是一个在处取最小值的连续函数，郑复光的描述与此相符。
〔2〕所谓“出小入大一段”，应指图65所示的那种“光路”，光速发散进入镜面（入大），出射后会聚（出小）。当然，这与实际光路不符。
〔3〕应指凸透镜的光束在越过汇聚点之后，交叉颠倒形成倒像，而形成倒像则有顺展限、顺均限等“限”。
〔4〕应指凸透镜成倒像的光束也是发散或大角度入射镜面，然后以会聚光束出射。详见“圆理”第九条。
〔5〕同科：同等，同一种类。
【译文】
将凹透镜贴近眼睛，看物体觉得较小，即使近视的人也是如此。而之所以不太感觉得到，是匹配视力的缘故。只要将它与眼睛拉开距离，即使近视的人也必定觉得物像迅速变小，推开越远就越小，必定有最小的极限位置；过了极限重又变大，直到镜片贴近物体，这时就与本形相称了。这个限必有确定尺度，只是眼睛和物体之间的距离，有远有近，［限的尺度也就］会有一些伸缩，大致与凸透镜的顺收限相同。只有当物体离眼睛太远时，小角度出射、大角度入射的那一段就会变成平行，这一点特别不同于凸透镜，原因在于凸透镜［的光束］超出顺收限之后，又会有倒限。至于形成凸透镜倒限［的光束］小角度出射、大角度入射那一段，就和［凹透镜的情况］属于同类，但没有什么大用处，姑且从略。
二十
凹镜能小物形，本章十九。则凹镜与平镜其大若等，其所照之地必广，能见所不见之处，而斜摄入目。圆理五。本《远镜说》。〔1〕
解曰：
物大如丑戊，置目于己，置平镜如庚辛，物入平镜，止见甲戊，不见丑甲也。如其度置目于壬，置凹镜如癸子，则物入癸子，见为寅未。夫寅末者，丑戊所缩而成之象也，故寅未之度似与甲戊等，而其象乃与丑戊等，则是丑甲为平镜所不见者，入凹镜必见为寅卯矣。在镜之象，庚辛得四分，癸子得五分，岂非斜摄入目乎？（图68）
图68
【注释】
〔1〕“圆理”第五条，是以后讲伽利略式望远镜的一条预备知识，郑复光认为参考了《远镜说》，其实他通过大量研究，在很大程度上已经发挥得更加正确和清楚了。《远镜说》云：“前镜中高而聚象，聚象之至则偏，偏则不能平行。后镜中洼而散象，散象之至则亦偏，偏亦不能平行。故二镜合用，则前镜赖有后镜，自能分而散之，得乎平行线之中，而视物自明。后镜赖有前镜，自能合而聚之，得乎平行线之中，而视物明且大也。”
【译文】
凹透镜能缩小物形，本章第十九条。则凹透镜如果与平板透明体大小相等，它所映照的范围一定更广，能呈现［平板透明体］所不能呈现之处，而将其斜着摄取到眼睛里。“圆理”第五条。根据《远镜说》。
解：
物体大小如丑戊所示，使眼睛位于己处，放置平板透明体位置如庚辛所示，物形进入平板透明体，只呈现甲戊，不呈现丑甲。按同样尺度使眼睛位于壬处，放置凹透镜位置如癸子所示，则物形进入癸子，呈现为寅未。这个寅末，就是丑戊收缩而成的影像，所以寅未在尺度上似乎与甲戊相等，而其中的影像却与丑戊相等，则平板透明体所不能呈现的丑甲，进入凹透镜就必然呈现为寅卯了。镜片里的影像，庚辛占四分，癸子占五分，这难道不是斜着摄取到眼睛里吗？（图68）
二十一
凹离目愈远，视物愈小，本章十九。而物形不变也。若上下侧之，使上边距目近，则下边必远，而物景必上大下小，其左右两边又远近相等，则物景必大小如常，而物方者必短之使扁焉。依显，左右侧之，而物方必狭之使长矣。圆理七。理与凸之变形同，圆凸二十六。而大小之势相反，特不能倒物象耳。
【译文】
凹透镜离眼睛越远，［透过它］看物体显得越小，本章第十九条。而物形是不变的。如果让它上下偏侧，使上边距眼睛近一些，那么下边必定就远一些，而物像必定上大下小，此时左右两边却又远近相等，则物像必定［左右］大小如常，而方形的物体必定就被缩短变扁了。同理，让它左右偏侧，那么方形物体就必定被拉长变窄了。“圆理”第七条。道理和凸透镜变形相同，“圆凸”第二十六条。而大小的态势相反，只是不能颠倒物像而已。
二十二
通光凹对照，与含光凹同形同理，而照象则淡，特用以取景成侧收限，以求凹之能力为大用耳。
【译文】
凹透镜反射，与凹面镜同形同理，但映照出的物像较淡，大用处只是用它取影生成侧收限，以此求凹透镜的能力。
二十三
不通光凸与通光凹异形同理，故能小物象。古铜鉴小者，其中心微凸，取其收人全面，颇见匠心。本《梦溪笔谈》。〔1〕至凸作球，止充玩饰，于镜理无取尔。
【注释】
〔1〕《梦溪笔谈·器用》“古人铸鉴”一条，讨论了凸面镜缩小影像的巧用。
【译文】
不透明的凸镜与凹透镜异形同理，所以能缩小物像。有些小的古铜镜，中心部位略微凸起，为的是它能获取人脸全貌，颇见匠心。根据《梦溪笔谈》。至于凸到成了球，只能充当玩具饰品，从镜的性质上说没有可取之处。
圆叠〔1〕
一
通光镜两平相叠，视物如常，如叠多层，亦稍昏暗者，如隔蒙气，过厚则物景迷离耳，原色七。相切与离无异也。若两凹或两凸相切，则浅者可加深。一凸并一凹，则深者可使浅。至于两叠相离，及三叠、四叠，斯变化生而诸用出焉矣。
【注释】
〔1〕圆叠：球面透镜的组合。
【译文】
两块平板透明体叠合，用来看物体如同平常，如果叠合多层，也会稍微昏暗，是因为如同隔着雾气，太厚就显得物像朦朦胧胧，“原色”第七条。两块紧贴和有间隔都一样。如果两枚凹透镜或两枚凸透镜紧贴，则度数浅的可以加深。一枚凸透镜与一枚凹透镜合并，则度数深的可以变浅。至于两枚透镜叠合并有间隔，以及三叠、四叠，这就产生种种变化而出现诸般用途了。
二
凸与凹相反则相制，原镜八。故凸与凹并，其力等者，则适如平镜。否则，凸深者成浅凸，凹深者成浅凹。
【译文】
凸透镜和凹透镜［性质］相反于是互相抑制，“原镜”第八条。所以凸透镜与凹透镜合并，深力相等的，就变得恰如平镜。否则，凸透镜较深的组合就变成较浅凸透镜，凹透镜较深的组合就变成较浅凹透镜。
三
凸与凹并，若凸之顺收限六，而单凹之侧收限一，则相制而适平〔1〕。盖单凸之顺收限六，其侧收限亦必一，故其力等也。
【注释】
〔1〕适平：即上条所谓“适如平镜”，指深力恰好互相抵消，对光束的作用相当于平板透明体。
【译文】
凸透镜与凹透镜合并，如果凸透镜的顺收限是6，单凹透镜的侧收限是1，就会互相抑制而恰如平镜。因为，单凸透镜的顺收限为6时，它的侧收限一定也等于1，所以深力相等。
四
凸与凹并，相切，令内外〔1〕互易，其视物自同。若两不相切，使凹在内，指近目言。则视物远者近、小者大；反之，使凸在内，则视物近者远、大者小。〔2〕
【注释】
〔1〕郑复光在描述望远镜时，以目镜靠近眼睛而称“内”，物镜远离眼睛而称“外”。
〔2〕此条及以下第五、六、七条，为伽利略式望远镜的基本原理。
【译文】
凸透镜与凹透镜合并，如果紧贴，使它们前后互换，用来看物体仍然一样。如果两者不紧贴，使凹透镜在后，指靠近眼睛而言。则用来看物体就会远的显得近、小的显得大；反过来，使凸透镜在后，用来看物体就会近的［显得］远、大的显得小。
五
凸与凹相切而成平者，凸加凹外，相离，则视物仍大，愈远愈大，如凸理；凹加凸外，则视物仍小，愈远愈小，如凹理。盖凹切于目，是凹有定度，则力止于此，凸远则力大故也。凸以视物大为能力，离目愈远则愈大。圆凸十九。凸切于目，反此推之。凹以视物小为能力，离目愈远则愈小。圆凹十九。
【译文】
当凸透镜与凹透镜互相紧贴而变得相当于平板［玻璃］时，如果把凸透镜加在凹透镜前面，互相拉开距离，那么用来看物体仍然是放大的，越远越大，相当于凸透镜的性质；凹透镜加在凸透镜前面，那么用来看物体仍然是缩小的，越远越小，相当于凹透镜的性质。原因在于，凹透镜贴近眼睛，这样是凹透镜被限定，力道到此为止，而凸透镜由于较远，力道就大。看物体显得大是凸透镜的主要性能，离眼睛越远就显得越大。“圆凸”第十九条。凸透镜贴近眼睛的情况，可以反过来推论。看物体显得小是凹透镜的主要性能，离眼睛越远就显得越小。“圆凹”第十九条。
六
凸离目视物，出光线交，圆理九。则景昏。凹切目视物，违目线角，则目昏。若两镜离而叠之，则景清而不昏目，以凸凹相制而相济也。本章二。然相距有定度，视凸凹之深浅、物象之远近为差，过其度则不可用。此一凹一凸为远镜之所本也。
【译文】
使凸透镜与眼睛拉开距离［并透过它］去看物体，物体位置越出镜光线交，“圆理”第九条。影像就模糊。把凹透镜贴近眼睛去看物体，逆着目线的交角，眼睛就昏花。如果两种镜片拉开距离叠合起来，影像就清晰而且眼睛也不花，这是因为凸透镜和凹透镜互相抑制而相得益彰。本章第二条。但此时距离有确定尺度，根据凸透镜和凹透镜的深浅、物和像的远近而有所不同，超过确定尺度就没有用。这是一凹一凸作为望远镜的基本原理。
七
凸之用能大物象，然其弊视远则昏。凹之用为大光明，然其弊视物则小。凸与凹叠，相切而力相制者，即无所用，如平镜矣。本章二。相离而用相得者，即无其弊，成远镜矣。本章六。
【译文】
凸透镜的作用在于能放大物像，但它的弊病是用来看远处就显得模糊。凹透镜的作用是大光明，但它的弊病在于用来看物体就显得小。凸透镜和凹透镜叠合，互相紧贴而性能互相抑制时，就没有什么用途，同平板透明体一样了。本章第二条。互相拉开而作用相得益彰时，就没有各自的弊病，成为望远镜了。本章第六条。
八
物远在限距界〔1〕外，圆凸十一。凸切目视之则昏〔2〕，外加一凸切之则益昏矣〔3〕。若离之，则外凸〔4〕以离目视远物得倒小象，圆凸十九。有大光明理；圆凸十五。内凸以切目视近镜即外凸得顺大象，有显微理。〔5〕圆凸二十四。故外凸之倒者，内凸顺之仍为倒；内凸之昏者，外凸制之使不昏；设内凸顺收限一，其距外凸二，则出限当昏。然外凸既得大光明理，即其能力与凹同，故能制内凸之昏也。外凸之小者，内凸助之，则或小或大也。两凸俱浅或俱深，皆见物小；内深外浅则见大，内浅外深则见小。〔6〕两凸相距必有定度，名曰距显限。〔7〕此限取之最易，其推算法：两凸同深者，则倍顺收限；内深外浅者，以两顺收限并之。〔8〕若内深外浅，翻转则为内浅外深，距短而无用，略焉。距显限稍有深浅亦无不可，惟内深外浅相悬者，翻转为内浅外深，则目距外凸稍远，已入清界，无须内凸矣。且景小而远，与远镜翻转同，又奚取耶？
【注释】
〔1〕限距界：保证入射光为平行光的最小物距。详见“圆凸”第十一条。
〔2〕这句是说把凸透镜贴近眼睛看远处就显得模糊，此现象的原因是经凸透镜折射后再经过眼球所成的像落在视网膜之前。
〔3〕这句是说再叠加一枚凸透镜，影像更加模糊。原因是影像进一步落在视网膜之前。
〔4〕外凸：指前端凸透镜，今称“物镜”。后“内凸”指后端凸透镜，即“目镜”。
按：因另有“内凹”，故“外凸”、“内凸”并不对等于“物镜”、“目镜”。这两个概念在后面关于望远镜的论说中大量出现，若一律译成“前端凸透镜”或“外凸透镜”之类的全称，将导致句子冗长，极易引起文意混乱，故必要时仍依原文简称。
〔5〕这几句比较准确简练地概括了开普勒式望远镜的原理。按照郑复光的术语，就是“距显限=顺收限+切显限”，即物镜成远处物体的倒立缩小像（顺收限），像的位置在目镜焦距以内，再经目镜成正立放大像（切显限），而顺收限和切显限在数值上都等于焦距。这样就既解释了工作原理，同时也建立了精确的两镜距公式。基于前面对凸透镜成像的深入研究，至此可以说是水到渠成。
〔6〕这条自注也是对开普勒式望远镜的准确描述。目镜深、物镜浅则放大，反之则缩小。
〔7〕按此处定义，距显限就是开普勒式无焦系统的两镜距。
〔8〕此处郑复光得出开普勒式无焦系统的正确的两镜距公式，即L=f物+f目。
按：此条为开普勒望远光组的基本原理，也是一个连续改变变量的重要实验，实验结果确定了以下正确原则：1. 内深外浅原则，即物镜焦距大于目镜焦距是放大的唯一条件；2. 距显限原则，即光组中两枚透镜各自的工作原理，见本条注〔5〕；3. 两镜距原则，见注〔8〕。
【译文】
物体远在限距界之外，“圆凸”第十一条。将凸透镜贴近眼睛去看就会显得模糊，外面加上一枚凸透镜与之紧贴就更模糊了。如果将它们分开，那么外凸的情形，由于将它与眼睛拉开距离［并透过它］看远处物体可以看见倒立缩小像，“圆凸”第十九条。因而具有大光明性质；“圆凸”第十五条。内凸的情形，由于用它贴近眼睛看近处的镜片即外凸可以看见正立放大像，因而具有放大镜的性质。“圆凸”第二十四条。所以外凸导致的颠倒，内凸不改变其方向而仍然颠倒；内凸导致的模糊，外凸加以抑制使其不模糊；设内凸的顺收限为1，距外凸的距离为2，则［外凸］越出了顺收限而应该显得模糊，然而外凸既然具有大光明性质，其能力就与凹透镜相同，于是能抑制内凸导致的模糊。外凸所成的缩小像，得到内凸的增益，就会变小或变大。两枚凸透镜都浅或都深，都显得物体变小；内深外浅就显得变大，内浅外深就显得变小。此时两枚凸透镜之间的距离必定有确定尺度，命名为距显限。这个限的求取最简单，推算方法是：两枚凸透镜深度相同时，就将顺收限翻倍；内深外浅时，把两个顺收限相加。至于内深外浅，翻转就成为内浅外深，距离短而没有用，从略。构成距显限［的透镜］稍微有深浅变化也无不可，只是内深外浅相差较大时，翻转成内浅外深，则眼睛离外凸稍远，就已经进入清晰范围，这就不需要内凸了，而且影像又小又远，与望远镜翻转一样，那还能拿它来干什么呢？
九
距显限，两凸不论深浅，见物皆清。若两凸相距在内凸切显限内，圆凸十九。则外凸之微疵如泡或纹之类毕见，而外象多昏。〔1〕引之使出切显限外，则外凸之疵渐隐，而外物之倒象遂清，成距显限。〔2〕再引之出距显限，则视外物不清。〔3〕至倍距显限，则视外凸亦不清。〔4〕而引目稍离内凸，则显外凸大而光烂然。〔5〕使引目再离如法，则物清而小，复成顺象，〔6〕内凸距外凸既倍距显限，距目又出顺收限外，则视外凸为倒象，其视外凸所含之倒物景必复顺矣。如凹理，是为大光明限。〔7〕
【注释】
〔1〕此时目镜作为放大镜，人眼看见的是物镜的放大虚像。
〔2〕此时物镜所成的缩小实像，经目镜成为放大虚像，这是开普勒式望远镜的正常情况。
〔3〕此时物体经两枚凸透镜所成的实像落在视网膜之后，而实际光线在此之前就经眼球折射而生成一个位于视网膜前的像。
〔4〕此时物镜的最终成像也落在视网膜之前。
〔5〕此时落在视网膜之前的物镜的像稍微接近视网膜并放大。
〔6〕此时物体经物镜、目镜、眼球所成的缩小实像落在视网膜上，此像经三次颠倒而在视网膜上为倒立，被视觉神经处理为正立。
〔7〕因最后这种情况的成像性质如同凹透镜（倒、小、清），所以郑复光称此时的两镜距为“大光明限”。用“大光明限”和“如凹理”将开普勒式望远镜的目镜的作用，解释为等同于伽利略式望远镜的目镜，有不符合现代光学原理之处，发生这种困难的原因是不清楚目镜所成的像为虚像。但在大量实验的基础上，郑复光完全认识到他所说的“大光明”，对应于光学系统成清晰缩小的像，所以当他把“大光明”、“距显限”和“切显限”几个概念结合起来对开普勒式望远镜进行解释时，也是自有合理性的。详见以下诸条。
【译文】
对于距显限［组合］，两枚凸透镜不论深浅，用来看物体都是清晰的。如果两枚凸透镜的距离在内凸的切显限之内，“圆凸”第十九条。则外凸的瑕疵如气泡或纹路之类。显得一清二楚，而外面的景物多半模糊。拉开距离使之超出切显限之外，则外凸的瑕疵逐渐消退，而外面景物的倒像就清晰起来，成为距显限［模式］。继续拉开距离使之超出距显限，则外面的景物看起来不清楚。到了二倍距显限，就连外凸看起来也不清楚。而此时使眼睛稍微离开内凸，就会显得外凸又大又耀眼。让眼睛适当继续远离，则所见景物清晰并缩小，重又成为正像，内凸既然距离外凸二倍距显限，距离眼睛又超出顺收限之外，则外凸看起来是倒像，外凸所含的倒立物像看起来必然就正过来了。相当于凹透镜的性质，这就叫大光明限。
十
凸镜相叠为用者，或两面，或数面，当各立主名〔1〕，以干支为号。如有两节，则一以干，一以支。
【注释】
〔1〕主名：适当的名称、名义。
【译文】
组合起来发挥作用的凸透镜［组］，有两枚，也有多枚，应该各自确立适当名目，以天干地支为记号。如果镜筒有两节，则一节以天干标记，一节以地支标记。
十一
凸镜相叠，自二以上多至五六，皆能使合成凹理，但加一凸则须缩短。设有两凸如甲乙相等，深浅任用，兹特举相等者见例耳。则甲距乙用距显限。设有三凸如甲丙，内含乙凸而三，只举首尾。余仿此。则甲距丙即用倍距显限，为大光明限。盖甲距乙、乙距丙皆是距显限，故甲距丙得倍距显限也。此限以目切甲视外物即一无所见，而其光则烂然。〔1〕引目离甲如法，则物小而清，且见顺象，与凹同理，故为大光明限。然两凸相叠，则目之离甲必极远，不便用矣，必三凸相叠乃得，此远镜所资者也。〔2〕
然远镜之制，所见者不一，内凸用三叠，其恒也。迩来佳制多四叠，间有五叠，多至六叠而止。五叠、六叠，长者故胜，其短者亦只如常，似可不必。〔3〕四叠佳者，则丙丁不动，甲乙或有浅深数筒，以备调换。〔4〕盖物远尚大，而时值其暗，则用浅者，取其光显；物远甚小，而时值其明，则用深者，取其景大也。〔5〕然每加一凸相叠，则多一距显限，不合大光明限矣，必每距俱缩，使统长仍如三叠之度，方恰合耳。今推其算法，则每两凸相叠，各置距显限为实〔6〕，四凸者用一五除，五凸者用五折，六凸者用四折即得。〔7〕
解曰：
距显限，四凸者用一五除，五凸者五折，六凸者四折，何也？
距显限三叠者二倍，四叠必三倍，五叠必四倍，六叠必五倍也。而大光明限，设三凸者八寸，则三倍为十二寸，四倍为十六寸，五倍为二十寸。夫十二与八是一倍半，十六与八为二倍，二十与八为二倍半；一倍半是用一五除，则二倍用二除，二倍半用二五除；而二除即五折，二五除即四折故也。
【注释】
〔1〕三枚凸透镜，每两枚之间的距离均为两焦距之和，第一枚对远处景物成缩小实像，位置在第二枚的物方焦平面上，经第二枚成平行光出射，经第三枚在像方焦平面上成最小实像或聚焦光斑，眼睛不能直接观察到这个像，只能看见前方镜片上的光亮。眼睛离开镜片一定距离之后，才能透过透镜看见前方景物的倒立缩小像，这与单枚凸透镜的作用完全是同一回事。
〔2〕此处所谓由甲、乙、丙三枚凸透镜构成的“内凸”，其实应该是前两枚（乙、丙）构成转像光组，后面一枚（甲）为目镜。详见本章第十七条注。
〔3〕两枚以上凸透镜组成的望远镜，其实仍由物镜和目镜两部分构成，只是每部分由一枚以上透镜组成，还有一些镜片的作用在于消色差、消球面像差、增大视场等，主要不是为了参与成像，还有一些望远镜中间加设转像光组。这些望远镜的原理当时没有传入中国，转像光组的作用由郑复光自己摸索出来。详见后。
〔4〕此处所述四叠望远镜，丙、丁为固定的转像光组，甲、乙为可调换的目镜光组。
〔5〕这是郑复光对望远镜的十分正确的认识，目镜深（浅）则放大倍数高（低），图像亮度则相应地低（高），所以要根据观察对象的亮度和大小来决定合适的放大倍数。
〔6〕实：古算书中通称被乘数、被除数和被开方数（包括二次多项式中的常数项）为实数，简称实。在“圆率”章的算例中，被减数也称实。
〔7〕这种镜筒长的打折算法，在现在看来似乎没有什么道理。缩短目镜组的镜间距，只是改变了系统的焦距，结果只对放大倍数有影响。
【译文】
凸透镜组合，从两枚以上多到五六枚，都能将它组合成凹透镜的性质，只是每加一枚凸透镜就需要缩短［总长度］。设有相等的两枚凸透镜如甲乙，深浅任意，此处只是用相等的情况来举例。则甲距乙取距显限。设有三枚凸透镜如甲丙，中间包含凸透镜乙，因而有三枚，只用首尾简称。其余情况仿照此例。则甲距丙取二倍距显限，成为大光明限。因为，甲距乙、乙距丙都是距显限，所以甲距丙为二倍距显限。对于这个限，把眼睛贴近甲看外面景物就什么都看不见，而所见亮光则很耀眼。使眼睛适当离开甲，物像就变小并清晰，而且呈现正像，与凹透镜同理，所以属于大光明限。然而两枚凸透镜组合，则眼睛离甲的距离必定很远，这就不方便使用了，必须三枚凸透镜组合才行，这是望远镜的依据。
但是望远镜的制式，见到过的种类不一，内凸采用三枚叠合，是最常见的。近来的上乘制品中较多的是四叠，偶尔有五叠，最多到六叠为止。五叠、六叠，长的固然优异，那些短的也只平常，似乎没有必要。四叠中上乘的，则是丙、丁固定，甲、乙有时附有深浅不同的几个镜筒，以备更换。大概来说，如果物体虽远但还较大，而时值环境较暗，就用度数浅的，利用它亮度显著的特性；物体又远又很小，而时值环境较亮，就用度数深的，利用它放大影像的特性。然而每增加一枚凸透镜相组合，就多出一个距显限，这就不符合大光明限了，必须每段距离都收缩一点，使总长仍然相当于三叠的尺度，才是刚好合适的。现在推求其计算法，就是每两个相邻的凸透镜组合，分别以距显限为被除数，四枚凸透镜的用1.5去除，五枚凸透镜的取5折，六枚凸透镜的取4折即为结果。
解：
距显限［长度］，四枚凸透镜的用1.5除，五枚凸透镜的5折，六枚凸透镜的4折，这是为什么？
三叠的［长度］是距显限的2倍，四叠必然是3倍，五叠必然是4倍，六叠必然是5倍。而大光明限，设对于某个三枚凸透镜组为8寸，则3倍是12寸，4倍是16寸，5倍是20寸。12比8是1倍半，16比8是2倍，20比8是2倍半；1倍半的是用1.5除，2倍的就用2除，2倍半的用2.5除；而用2除就是5折，用2.5除就是4折。
十二
凹与凸相切，则深者可使变为浅，名变浅限，〔1〕然有不可过之界焉。如凸深限四，凹深限亦四，则相比而适平。本章三。故凸深限四，凹深限五，则为凸深变浅限。若凸深限四，凹深限三，则成凹深变浅限矣。是故变浅而至于适平，则无数可言。无数可言，即其不可过之界也。
盖凸限二而凹限四，为凹限加倍，凹限加倍是凹浅减半〔2〕，则变浅之限亦必加倍而得四矣。〔3〕假令凹限减一而得三，则凸限之变浅必加一而得五。〔4〕若使凹限再减一而得二，则与凸限相比而适平矣。夫凹限既减得二，则变浅限当加得六，而不然者，以相比则适平而无数也。〔5〕无数也者，非无数也，即此凸镜所变极浅之数云尔。故凹限再减即为凹深而凸浅，凹深凸浅即为凹限变浅，则亦各有其数矣。是故能自有而之无者，必能自无而之有。是为物之情，是为算之理。故曰，无数者，即其不可过之界，而非无数也。〔6〕
【注释】
〔1〕此处指一凸一凹两枚透镜密接，效果相当于较深的一枚变浅，即焦距由短变长。比如，凸深凹浅密接，效果仍是凸透镜但深度变浅；反之，凹深凸浅密接，效果仍是凹透镜但深度变浅。显然，“变浅限”在数值上相当于一凸一凹两枚透镜密接的系统焦距。
〔2〕凹限加倍是凹浅减半：焦距变长，就是深度变浅，所以焦距加倍，就是深度减半。
〔3〕此处指凸透镜焦距为2，凹透镜焦距为4，凸较深、凹较浅，叠加起来的效果相当于凸透镜变浅（焦距变长）。此时凹透镜的焦距是凸透镜的2倍，效果相当于凸透镜变浅而焦距增加到2倍，即组合焦距为4。郑复光的这个结果与现代几何光学理论值一致：
郑复光采用的是线性计算法，即凹透镜焦距翻倍时，组合焦距同时翻倍。但上式并非线性关系式。计算结果一致，只是f2=2f1时的特例。
〔4〕此处可看出，郑复光继续采用线性外推法，即f2由4减1为3时，F由4加1为5。此时即与理论值之间有以直代曲的误差。现代理论值为：
〔5〕当f2再减1为2，与f1相等时，现代理论值为：
但是按线性外推，F应再加1为6，等于f1的3倍。但郑复光从实验上得知此时相当于平面，应该“无数”。
〔6〕以上这段话有含混之嫌。但其中包含着一个数学公式，不仔细分析是看不出来的。由于当F=3f1时实际上就“无数”了，所以组合焦距最大界限就是3f1；又由于f2越大F就越小，线性取值的方法是将f2直接从3f1中减去。即当一枚焦距为f2的凹透镜叠加到焦距为f1的凸透镜上时，相当于凸透镜的焦距变长部分是3f1-f2。原焦距加上变长部分，就是组合焦距。所以郑复光的公式为：
F=（3f1-f2）+f1=4f1-f2 （f2＞f1）（1）
F的数值是不能大于3f1的，因为F是“凸变浅限”，当F＞3f1时，意味着f1＞f2，就不再是“凸变浅限”而成为“凹变浅限”了，上式不再适用而应变为：
F=4f2-f1 （f1＞f2）（2）
“3f1”中的3这个数字，被郑复光视为“不可过之界”，是凸变浅和凹变浅的界限，也是使用上面两个公式的界限。郑复光在后面“圆率”第四条“凸凹相切变浅限率表”中把这个3定义为“界率”，并更明确地提出了上述公式。
按：我们可以对现代几何光学公式作如下变形：
比较（1）、（3）两式，很容易看出，当f2=2f1时，两式相等。（3）是（1）的近似公式，适用范围在f2=2f1附近。f2=f1时，不用（1）式，而用“适平”。
在“圆率四”中，郑复光列出运用（1）式的六个应用例题，其中第四题和第六题为同一组数据而不同未知数。将例题中的数据与我们用（3）式计算出的数据作一比较，就更清楚（1）、（3）两式之间的近似关系了。见下表：
【译文】
凹透镜和凸透镜紧贴，则度数深的可以变浅，称之为变浅限，但是有不能越过的界限。如果凸透镜深限为4，凹透镜深限也是4，则势均力敌而恰如平镜。本章第三条。于是凸透镜深限为4，凹透镜深限为5，就成为凸透镜深度的变浅限。如果凸透镜深限为4，凹透镜深限为3，就成为凹透镜深度的变浅限了。因此变浅变到恰如平镜，就谈不上什么数值。谈不上什么数值，就是不能越过的界限。
凸透镜深限为2而凹透镜深限为4，就是凹透镜深限加倍，凹透镜深限加倍就是凹透镜深度减半，那么变浅限也必定加倍而成为4了。如果使凹透镜深限减1而成为3，那么凸透镜深限的变浅［限］必定加1而成为5。如果使凹透镜深限再减1而成为2，就和凸透镜深限势均力敌而恰如平镜。凹透镜深限既然减少到2，变浅限就该增加为6，而其实并非如此，这是因为势均力敌就恰如平镜，因而没有数值。所谓没有数值，并非真的没有数值，是就这个凸透镜所变成的十分浅的数值而言罢了。所以凹透镜深限继续减少就成为凹深而凸浅，凹深凸浅就成了凹透镜深限变浅，结果也就各有各的数值了。因此能够从有到无的，一定能从无到有，这是事物的常情，这是数量的道理。所以说，所谓没有数值，就是数值不能越过的界限，而并非真的没有数值。
十三
凹与凸相离则昏者，可使变为显，名变显限。〔1〕其推算法：
以凹侧收限一、凸顺收限十二为定率〔2〕，谓之足距。足距者，两镜相距恰与凸顺收限等也。〔3〕若凹深于定率，谓凸十二而凹不足一。则不可用。〔4〕若凹浅于定率，谓凸十二而凹不止一。则为差距〔5〕，可设四率求之。
解曰：
有单凹，侧收限三寸；凸，顺收限九寸六分；试得差距二寸五分六厘，因推足距，〔6〕法：以九寸六分为一率，三寸为二率，二寸五分六厘为三率，得四率八分，为足距〔7〕。爰以八分归〔8〕九寸六分，得一寸二分，故以一与十二为定率。〔9〕凹若不止一则凹浅，其距必短于顺收限，故为差距。凹若不足一则凹深，其距必长于顺收限，故不可用也。
求差距法，假如有凹，限一寸；凸，限九寸六分，法：以定率先求得凹限八分，为足距数；爰以今凹限一寸为一率，足距八分为二率，凸限九寸六分为三率，推得四率七寸六分八厘，为差距数。〔10〕
论曰：
定率凹限一而凸限十二者，凡单镜侧收限一，则顺收限六，是十二者即六之倍也。
【注释】
〔1〕此言一凹一凸两枚透镜拉开的距离不当时，观察到的前方影像模糊；但有一个恰当距离可以使之变清晰，这个距离叫做“变显限”。显然，这是伽利略式无焦系统的原理。而变显限似乎理当如前面的两凸距显限一样是无焦两镜距，其实不然。详见以下注。
〔2〕此“定率”规定了伽利略式望远镜的物镜焦距和目镜焦距的固定比例关系，按现在的眼光看来，只是人为规定的放大倍数，与望远光组的一般性质无关。
〔3〕这句话乍一看像是足距的定义，而且就是望远镜镜筒长的定义，但以下多次论述到伽利略式望远镜和开普勒式望远镜的足距，都是指一组规定，而非单指镜筒长。足距规定同时包括指定的两镜焦距比和指定的两镜距（镜筒长）。由于古文的省文习惯，在后文中，“足距”有时指整组规定，有时单指两镜焦距比或两镜距，有时指符合足距规定的透镜焦距。
按：综合以上关于“定率”和“足距”的规定，我们发现，由于当时不能实测凹透镜的焦距，但能实测其侧收限，郑复光一般以侧收限表征凹透镜的深度，同时借用凸透镜的侧收限、顺收限换算率来求出凹透镜的“深限”（见“圆凹”第一、第四条和“圆率”第二条）。然而凸透镜的焦距和侧收限（图31a中的S）之比，实际上大于凹透镜的焦距和侧收限（图31b中的S）之比（详细讨论见“圆率”第二条注）。这就导致郑复光所称的凹透镜深限的数值，大于实际焦距的数值。以此处而论，一凸一凹式望远镜的两镜焦距比规定为12:6（单凹侧收限为1时，深限为6），镜筒长规定为凸透镜即物镜的焦距12；而正确的两镜距应该是两焦距之差，即12-6=6。按此处足距的规定，两镜距误差偏大50%而放大率只有2倍，显然是不合理的。唯一的可能是郑复光使用的凹透镜的焦距实际上较小，因而两镜距较为接近物镜焦距，同时放大倍数更大。即当郑复光称某凹透镜的深限为6时，并不对应于焦距为6，焦距实际上更小，相当于单位不同。从全书中看，郑复光不止一次研究望远镜成品或自制望远镜，对其各种性能也有细致的分析描述，不可能根据错误数据制作出不具备望远性能的光学仪器而不自知。所以上述猜测应该是合理的。关于凹透镜焦距的问题，我们在“圆率”第二条注中还有进一步讨论。
〔4〕望远镜的目镜焦距太小，则目镜将前方物镜的像缩小成一个很小的圆孔，同时图像亮度锐减（即望远镜的放大倍数与实际视场大小和出射光瞳直径均成反比）；所以有效放大倍数是有限度的，目镜焦距不能太小。郑复光对望远镜的这一矛盾性质有充分认识，反复论及。但如果两镜焦距比是12:6（放大倍数为2），绝不至于达到这一步。由此可知，郑复光使用的凹透镜已经接近有效放大倍数的极限，其焦距长不可能只有物镜的一半。这与上面注〔3〕中的分析也是吻合的。
〔5〕差距：从下文看，“差距”概念的意义在于，足距已经接近有效放大倍数的极限，凹透镜的焦距再小就不可用，再大一些则无妨，但镜筒长须相应缩短；与“足距”概念一样，“差距”也并不仅仅指缩短后的两镜距，而是指差距两镜距、差距两镜焦距比以及符合差距比率的某个透镜焦距等一组数值。“差距”因而也同时是这三个概念的省文。
〔6〕在这个例题中，目镜（凹透镜）的侧收限为3寸，按换算率换算，焦距应该是16寸。而物镜焦距只有9.6寸，目镜焦距大于物镜焦距，这已经不是望远镜了。此时两镜距为2.56寸，通过几何光学作图或计算均可知，这样一个系统所成的像，是目镜后方的实像，而非望远镜所需的前方虚像。实际情况不可能这样，只能是凹透镜焦距小于物镜焦距9.6寸。这再次反证了注〔3〕中分析的合理性。按两镜距推算，此时的凹透镜焦距应该是9.6-2.56=7.04（寸）。
〔7〕伽利略式望远镜的目镜焦距变长时，镜筒须缩短，缩短的程度实际上就是目镜焦距变长的程度，即镜筒长L=f物-f目，f目越大，L越小。郑复光在“圆叠”第八条中建立了开普勒式无焦系统的正确的两镜距公式（L=f物+f目），得益于能够实测凸透镜的焦距，因而对凸透镜作出精确而定量的研究。但对伽利略望远镜，则没有得出无焦两镜距，原因也很简单，就是不能实测凹透镜焦距。郑复光规定，在足距情况下，L=f物，同时他认识到在差距情况下（即f目大于足距规定时），L须缩短；由于没有得出L=f物-f目，所以对缩短程度的计算也不是直接减去，而是采取按比例缩小的办法，这当然会与现代理论值之间有误差。此处的比例计算为：，其中，为L足（=f物）为足距镜筒长，为目镜差距侧收限，L差为差距镜筒长，为目镜足距侧收限。
从“试得”一词可知，此时的差距镜筒长为实验测量值。再次佐证注〔3〕的分析。
〔8〕归：即算术中的“除”。又分两种含义，一为珠算用语，即运用“归除口诀”的归除法；一为以一位数为除数去除。
〔9〕故以一与十二为定率：8分和9.6寸之比为1比12，故8分为符合定率的足距侧收限。
〔10〕此处为注〔7〕所述比例式的变换式：。
【译文】
如果凹透镜和凸透镜拉开距离就会导致影像模糊，有一个距离可以使它变得清晰，将这个距离命名为变显限。推算的规则是：
以凹透镜侧收限1、凸透镜顺收限12为定率，称之为足距。在足距的情况下，两枚镜片之间的距离刚好等于凸透镜顺收限。如果凹透镜［深度］比定率深，就是说凸透镜［顺收限为］12，但凹透镜［侧收限］小于1。就是无效的。如果凹透镜［深度］比定率浅，就是说凸透镜［顺收限为］12但凹透镜［侧收限］大于1。就成为差距，可以设四率来求取。
解：
有一枚单凹透镜，侧收限为3寸；一枚凸透镜，顺收限为9寸6分；测得差距为2寸5分6厘，据此推算足距，计算法：以9寸6分为一率，3寸为二率，2寸5分6厘为三率，求得四率8分，为足距［侧收限］；再以8分除9寸6分，得1寸2分，因此以1和12为定率。如果凹透镜［深限］大于1，那么凹透镜就［比定率］浅，距离就必定比顺收限短，于是成为差距。如果凹透镜［深限］小于1，那么凹透镜就［比定率］深，距离就必定比顺收限长，于是就无效了。
求差距法，假如有一枚凹透镜，［侧收］限1寸；一枚凸透镜，［顺收］限9寸6分，计算法：根据定率先求出凹透镜［侧收］限8分，为足距的数值；再以当前凹透镜［侧收］限1寸为一率，足距8分为二率，凸透镜［顺收］限9寸6分为三率，算出四率7寸6分8厘，就是差距［镜筒长］的数值。
论：
虽说定率取凹透镜［侧收］限为1而凸透镜［顺收］限为12，但单［凸、凹］透镜凡侧收限为1，顺收限就是6，其实12是6的2倍。
十四
凸凹相叠，使凹离于凸，内用变显限，本章十三。即成远镜。本章四与六。凸镜相叠，自甲、乙以上多至甲己，皆能使合成凹理。本章十与十一。则是浅凸在外，加数深凸合成凹理，离于内，亦必成远镜矣。
【译文】
凸透镜和凹透镜组合，使凹透镜与凸透镜分离，之间［距离］取变显限，本章第十三条。就成了望远镜。本章第四条和第六条。凸透镜组合，从甲、乙以上多到甲至己，都能使之组合成凹透镜的性质。本章第十条和第十一条。所以只要使较浅凸透镜位于外端，加上几枚较深凸透镜组合成凹透镜的性质，拉开距离位于内端，也必定成为望远镜。
十五
远镜外凸内凹，本《远镜说》。其作法云：“须察二镜之力若何，相合若何，长短若何，比例若何。”而不详其法。今皆得而言焉：
察镜力法：凹以侧收限，凸以顺收限。二镜相合法：凸深者凹宜深，凹浅者凸宜浅。凸深凹浅，则不到限，限既不到，必缩而求之，力不充矣。凸浅凹深，则欲出限，限不可出，必强而置之，过其剂矣。力不充者，物虽清而小；过其剂者，物虽大亦昏。至于浅深相悬，则并不堪用焉矣。〔1〕度长短法：俱深则距短，俱浅则距长。求比例法：以凸之顺收限为则，凸限十二、凹限一，则相距亦十二，恰当其分，所谓足距也。本章十三。〔2〕
论曰：
物远则景小而色淡，原色七，原景一。远镜法以凸大之，圆凸十六。以凹显之耳。圆凹十五。凸之顺收限为视物最大处，圆凸十六。故应以足距为佳。
【注释】
〔1〕此处所言“二镜相合法”，实为郑复光的一大研究成果。伽利略式望远镜的放大倍数不宜太高，物镜度数变深（浅）时，目镜也要相应变深（浅），反之亦然。解释有点含糊，但描述的现象很正确。物镜焦距变短或目镜焦距变长（凸偏深而凹偏浅），就要缩短镜筒，结果是放大率降低；反之则镜筒必须变长，结果是放大率提高而图像昏暗。按现代理论解释，放大倍数太高则视场太小、亮度太低。所以伽利略式望远镜总是以小放大率、大物镜直径为设计原则。
〔2〕郑复光的确根据自己的大量研究，一一解答了《远镜说》未说明的四个“若何”。除了镜筒长问题是个悬案（因为凹透镜深力的物理意义不明）外，其余都符合现代理论。
【译文】
外端为凸透镜、内端为凹透镜的望远镜，根据的是《远镜说》。其中的制作法说道：“要辨别两枚镜片的深力如何，互相配合如何，长短如何，比例如何。”但不清楚它的具体规则。现在都可以说清楚了：
辨别镜片深力的规则：凹透镜按照侧收限，凸透镜按照顺收限。两枚镜片配合的规则：凸透镜深则凹透镜也应该相应较深，凹透镜浅则凸透镜也应该相应较浅。如果凸透镜偏深、凹透镜偏浅，就达不到变显限，既然达不到，势必要缩短镜筒以求达到，力度就不充分了。如果凸透镜偏浅、凹透镜偏深，就有越出变显限的趋势，变显限不可越出，势必要强行设置镜筒长，就超过了调节量。力度不充分时，物像虽然清晰但是缩小；超过调节量时，物像虽然放大但是昏暗。如果深浅相差很大，就一并不起作用了。测度长短的规则：深度都深则距离短，深度都浅则距离长。计算比例的规则：以凸透镜的顺收限为基准，当凸透镜［顺收］限为12、凹透镜［侧收］限为1时，相距也是12，恰如其分，就是前面所说的足距。本章第十三条。
论：
物体远，影像就小并且颜色淡。“原色”第七条，“原景”第一条。望远镜的原理是用凸透镜使之放大，“圆凸”第十六条。用凹透镜使之明晰。“圆凹”第十五条。凸透镜的顺收限是看物体［显得］最大的位置，“圆凸”第十六条。所以应该以足距为最佳。
十六
距显限，两凸相等者，俱深或俱浅，其顺收限止及半距，目出限外既远，故视物小，不可以为远镜。若外浅内深，则浅限极长、深限极短，其全距与浅限相近，故视物极明而大，物景虽倒，可借以得中景〔1〕，原景十二。是亦远镜也，故窥测用之。
论曰：
距显限，两凸相等者，则其距为倍顺收限，本章八。是外凸为清倒象，内凸为显微。故外凸之小物象，内凸能使之稍大。至外浅内深，则全距与浅凸限相近，正是昏极大极之处，使加一深凸切之，必见倒、小而清。引深凸近目，必渐大矣。能清能大，故具远镜之用也。
测量必用窥筒〔2〕者，求中景也。而窥筒必用细孔者，以太偏易见、微偏难察也。然视物不畅，故后来又增长缝、十字等法，今用两凸取其倒景大象。夫倒景线法，物景偏下，移下反不见，以物实在上故。则是景偏下一秒者，反当上移一秒，是一秒见为二秒也。且以凸大其象，是一秒不啻数秒也。视物弥畅，中景弥确，又况加细孔为束腰〔3〕，并加十字于其中，尤为准确可知矣。
【注释】
〔1〕中景：影像的中心位置。以下对开普勒式望远镜的制式有很正确的分析。由于该望远镜所见为倒像，故只用于测量，为瞄准精确起见，加视场光阑，使所见图像集中于一点，但同时不便于大范围瞭望，故后来在目镜的焦平面上加十字叉丝，而无须缩小视场。这些构造特点和相关配件，郑复光在下文中均有正确分析。
〔2〕窥筒：本指古代用于对观测目标进行定向瞄准的窥管，而在其两端装上凸透镜就成了测量用望远镜，此处指后者。在下面第十八条中，郑复光命其全称为“窥筒远镜”。
〔3〕束腰：郑复光称望远镜的光阑为束腰。此处描述的光阑为视场光阑。
【译文】
对于距显限［组合］，当两枚凸透镜相等时，无论都深或都浅，顺收限只达到半个两镜距，眼睛位置越出顺收限已然过远，所以看物体显得缩小，不能作为望远镜。如果外浅内深，则浅的顺收限很长、深的顺收限很短，整个距离与浅的［顺收］限接近，因此用来看物体显得非常清晰而且放大，物像虽然颠倒，却可以凭借它取得影像的中心位置。“原景”第十二条。这也是一种望远镜，所以测量采用这一种。
论：
对于距显限［组合］，当两枚凸透镜相等时，它们之间的距离就是顺收限的两倍，本章第八条。此时是外凸成清晰倒像，内凸作为放大镜。所以被外凸变小的物像，内凸能使它稍微变大。至于外浅内深，则整个距离跟较浅凸透镜的［顺收］限接近，正好是最模糊也最大的位置，加上一枚较深的凸透镜与它紧贴，所见必定颠倒、缩小而清晰。把较深的凸透镜拉近眼睛，所见必定逐渐放大。能清晰也能放大，所以具有望远镜的作用。
测量之所以一定要用窥筒望远镜，是为了取得影像的中心位置。而窥筒望远镜之所以一定要采用小孔，是因为［中心位置］太偏容易发现、微小偏差就难以察觉。但是这种模式使得看物体不够敞亮，所以后来又增加了长缝、十字［叉丝］等方法，所以现在可以用两枚凸透镜来获取大范围的倒像。倒像的射线规律是，影像偏下时，往下移动反而看不见，这是因为物体其实在上方。所以影像往下偏1秒时，反而应该往上移1秒，这样1秒［偏差］就表现为2秒［移动］。而且由于凸透镜放大物像，这样1秒［偏差］就不止好几秒［移动］了。这种模式使得看物体更加敞亮，中心位置更加准确。如果此时再加上小孔作为束腰，连同在中间加十字［叉丝］，结果格外准确是可想而知的了。
十七
甲、乙、丙三深凸相叠，成大光明限，四凸以上同论。以其光烂然，故曰大光明；以其离目视远见物象小而清，故曰同凹理。本章九。然则外加子浅凸，必成远镜矣。
其相合法：甲丙深者子宜深，甲丙浅者子宜浅，与一凸一凹之理同。本章十五。所差异者，有甲丙相合之力也。是故相合深者，距稍缩焉，则稍浅；相合浅者，距稍伸焉，则稍深，是可以消息〔1〕子凸之深浅而为之剂。〔2〕如外浅过剂，内合〔3〕又浅，则目不能近甲；设近甲，其弊乃白如望羊而不真。〔4〕内合太深，则目必须靠甲；虽靠甲，其弊仍伥乎幽室而无见。〔5〕弊在浅，或加一焉；弊在深，则必易之。此言太深之弊。
其长短法：设子凸限二尺，以甲、乙、丙凸二寸五合足距〔6〕，器长定用四尺，取物景倒而清，得大光明理也。子距丙约三尺，取其近初清限也。丙距目约尺余，取足甲丙大光明限而有余地也。必留余地，取其伸缩以合远近目力之异也。〔7〕
论曰：
伸缩者，远镜要法也，三种远镜皆有之。惟两凸一种，伸缩既微，其用专于测量，遂可不用。〔8〕至于一凸一凹，已为要务。若纯乎凸者〔9〕，出入稍差，遂谬千里，不可不知。是故甲乙丙深不必力等，甲乙丙距不必长同。以故离目太远，则伸甲、乙可也；视丙太小，则缩乙、丙可也。
又论曰：
镜法诸限，皆不可移，独大光明限稍可伸缩，缘有二端：
一以甲丙有两距，此盈彼朒〔10〕，故伸缩适调其剂也。
一以甲乙与乙丙皆本距显限。夫距显限之所显者二，一显镜光，一显物景。物景必当限乃清，镜光则出入犹可。大光明限乃取其光，非取其景，若见物景，反为过剂不可用，故伸缩恰当其分也。
【注释】
〔1〕消息：消长，增减。
〔2〕此句应注意，“消息子凸之深浅”并非指更换物镜而配合目镜，因为此时目镜为可调节的光组，只可能调节它去适配固定的物镜，不可能更换固定的物镜去适配可调节的目镜。所以此句的意思是指“配合物镜的深浅来伸缩目镜光组”。
〔3〕内合：合并起来的内凸，相当于现在所说的目镜透镜组。
〔4〕望羊：即“望洋”，仰视貌。
按：此处描述的现象为，望远镜物镜焦距长得超过镜筒调节范围（过剂），同时目镜焦距也太长，则物镜所成实像位置不在目镜前方焦距范围内，而落在了目镜后面，此时眼睛凑近目镜观察，看不到像，而看到一片眩光。
〔5〕伥（chāng）：迷茫不知所措貌。
按：此处描述的现象为，目镜焦距太短，即望远镜放大倍率太高，导致视场过小，图像亮度锐减。郑复光虽然没有提出类似于有效口径、出射光瞳或镜头亮度之类的概念，但他对这类现象有比较充分的认识，在有关透镜和望远镜的条目中多次有阐释。
〔6〕以甲、乙、丙凸二寸五合足距：距显限足距规定，两枚凸透镜无焦系统的两镜距，等于两个焦距之和。三枚都配成足距，即每相邻的两枚分别构成无焦系统。由于3枚凸透镜焦距相等，均为2.5寸，故一个距显限为5寸，两个距显限则为1尺。因此下文说“丙距目约尺余”，即目镜组的总长为1尺。这是一个正确而精密的设计分析。见下注。
〔7〕此处分析的这种望远镜制式，是一种典型的开普勒式望远镜改进式。由波西米亚天文学家谢尔勒（Antonius Maria Schyrleus，1604——1660）于1645年发明。主要设计是在开普勒望远光组中添加转像光组。其原理如图69所示：子为物镜，甲为目镜。乙、丙为不改变放大倍数的转像光组，只起到变倒像为正像的作用，去掉之后剩下的子和甲就恢复到基本的开普勒式。由于郑复光对凸透镜和凸透镜组的研究相对透彻、精确，在“圆叠”第八、第九两条中正确地阐释了这种透镜组中每一枚透镜的作用，以及每一步组合成像的性质，还获得了两镜距等于两个焦距之和的精确公式，所以能在这一条中对这种望远镜的原理、构造和性能作出准确的概括性说明。
图69
〔8〕测量专用的望远镜，目标一般较远，且郑复光所指多为天文测量，基本不需要根据物距调节聚焦。
〔9〕纯乎凸者：下文常称为“纯凸”，为“一凸一凹”和“两凸”之外的第三种望远镜制式，故其意并非“纯由凸透镜构成”，而是“多枚（两枚以上）凸透镜构成”，否则“纯凸”将包括“两凸”。
〔10〕朒（nǜ）：退缩。
【译文】
甲、乙、丙三枚深度凸透镜组合，构成大光明限时，四枚凸透镜以上同理。由于这种情况光亮耀眼，所以叫大光明；由于使它与眼睛拉开距离［并透过它］看远处而看见物像缩小并清晰，所以说等同于凹透镜的性质。本章第九条。既然如此，外端加一枚子号浅度凸透镜，就必然成为望远镜了。
搭配的规则是：甲至丙［透镜组］较深时子也应该较深，甲至丙［透镜组］较浅时子也应该较浅，与一凸一凹的道理相同。本章第十五条。不同之处在于，有甲至丙组合出来的功效。由于这个缘故，组合的深度较深时，其内部距离缩短一些，就会变得浅一些；组合的深度较浅时，其内部距离伸长一些，就会变得深一些，这样就可以配合子号凸透镜的深浅相应伸缩来进行调剂。如果外凸浅得超过限量，内端组合的深度又浅，那么眼睛就不能靠近甲；假如靠近甲，弊病是白花花一片看不真切。如果内端组合太深，那么眼睛就必须靠近甲；虽然靠近甲，弊病是像在黑屋子里迷茫无所见。弊病在于过浅，还可以加上一枚；弊病在于过深，就必须换掉。这里说的是过深的弊病。
尺寸的规则是：设子号凸透镜的［顺收］限为2尺，将［深限为］2.5寸的甲、乙、丙三枚凸透镜配成足距，器具长度必然采用4尺，为的是此时物像倒立而清晰，符合大光明的属性。子距离丙约3尺，为的是它接近刚开始清晰的位置。丙距眼睛约一尺多长，是取足甲至丙［透镜组］的大光明限并留有余地。之所以必须留余地，为的是通过伸缩来配合［物体］远近和［不同］视力的差异。
论：
伸缩是望远镜的重要法则，三种望远镜都有。只有由两枚凸透镜构成的这一种，伸缩量首先不大，用途又专门在于测量，于是可以不用伸缩。至于一凸一凹，那就是必需的。如果是多枚凸透镜构成的，出入稍微差一点，就会错失千里，这不可不知。因此，甲、乙、丙的深力不必相同，甲、乙、丙之间的距离也不必相等。这样的话，离眼睛太远，伸长甲、乙就行；看见的丙太小，收缩乙、丙就行。
又论：
透镜规则中的各个限，都不能变动，只有大光明限可以稍微伸缩，有两个原因：
一是因为甲至丙［透镜组］中有两段距离，此长彼消，于是通过伸缩来适当地调节彼此间的比例。
一是因为甲乙和乙丙都基于距显限。距显限所彰显的有两样，一是彰显镜片中的亮光，一是彰显物像。物像一定要恰好在某个限的位置才清晰，镜片的亮光则有所出入也能显现。大光明限的目的在于［镜片的］亮光，不在于像，如果看见物像，反而是超过限量而不能生效，所以通过伸缩使之恰到好处。
十八
远镜三种，应各立名以资后论。今以一凸一凹者非大至寻丈〔1〕不足用，止可施于观象，名曰观象远镜。两凸者专施于窥筒，名曰窥筒远镜。四凸以上者，大之固妙，小之至尺余，能力亦胜，游览最便，名曰游览远镜。〔2〕
论曰：
远镜创于默爵〔3〕，止传一凸一凹。《畴人传》〔4〕云“制一似平非平之中高镜”，其浅可知。厥后汤若望著《远镜说》，南怀仁〔5〕撰《仪象志》，皆无异辞。〔6〕惟《天经或问》〔7〕谓“外平中凸”，盖因凸浅而误也；至云“凹恢物景”，则谬甚，其不足据亦明矣。然所见洋制小品，长五六寸，止可于三五丈内见人眉宇耳。其大者，径不过二寸，长不过五尺，则皆纯用凸镜，视一凸一凹工力倍繁，于十数里内窥山岳楼台，颇复了了，或视月，亦大胜于目，至观星象，则胜目无几。后来改作，而能力反不及，何邪？以意逆之，《远镜说》虽无大小之度，然其图，筒有七节，至短必寻以外。又凹能缩凸，其径非五六寸不可。〔8〕依显，此器重大，可观象戴进贤《星图》〔9〕曾有言“非大远镜不能窥视”云云。而不便登临。此改作所由来欤？曾见纯凸数种，怀之可五六寸，展之可三尺者。又见外口盖铜，开孔露镜止二三分者，远寺红墙，径寸能辨其署书，亦游览一快也。想此种果及寻丈，能力应亦更胜。缘非常用之器，故鲜得遇之。今以前出者名观象镜，后出者名游览镜，举其所重者名之耳。又见《皇朝礼器图仪》〔10〕上窥表〔11〕有施远镜者，其作法不详。梅余万〔12〕先生曾以家藏远镜一具见示，中有铁丝十字，下有托一、铜球一，疑为仪器事件〔13〕。近见西洋堂发出仪器，大小两具，各安一筒，诚如所疑。故名窥筒镜，取其专长名之也。
【注释】
〔1〕寻丈：泛指8尺到1丈之间的长度，此处犹言三米左右。寻，古代长度单位，等于8尺。
〔2〕对望远镜的这种分类法，思路上受到早期西学传入的零散性的一些影响，也有郑复光自己的总结性认识。《远镜说》极称一凸一凹式的观象效果，而郑复光通过研究实物，发现也并不特别，曾前往钦天监观象台参观考察而未果，故猜测此种望远镜要制作得巨大，非民间所用，故称其为观象远镜。其实伽利略望远镜发明后，其作为天文望远镜、观剧镜和户外望远镜的三种用途，是等量齐观的。对后两种望远镜的认识则是正确的，开普勒望远镜基本式，所见为倒像，但亮度和放大倍数比伽利略式优越，而且能安装十字叉丝等测量附件，便于测量，郑复光还实际见到这种望远镜被用在钦天监的象限仪窥筒上，所以将其专门归为窥筒远镜。而当时传教士带进中国的望远镜成品，绝大多数为加了转像光组的开普勒望远镜改进式，由于所见为正像，特别适合作为一般的便携户外望远镜，故郑复光称其为游览远镜。
〔3〕默爵：西洋人名。《畴人传》“默爵”篇中以默爵为望远镜发明者。
按：默爵应即荷兰人雅可布·默丢斯（Jacob Metius，1571以后——1624至1631之间）。望远镜的首位发明者至今不可考，默丢斯为有文献支持的早期望远镜制作者之一。
〔4〕《畴人传》：（清）阮元主持编撰的一部历代天文、历法、算学家的学术传记集。其中包括一些外国科学家。
〔5〕南怀仁：见“原色”第一条注〔1〕。
〔6〕《新制灵台仪象志》中并未言及伽利略式望远镜，其提及望远镜之两处文字见“原目”第八条和“镜形”第七条注。
〔7〕《天经或问》：（明）游艺撰，是一部广采西学的天文、地理读物。
〔8〕郑复光非常注意伽利略式望远镜的物镜口径，原因即在于“凹能缩凸”。凸透镜经凹透镜所成的像，就是该望远镜的出射光瞳，其直径与望远镜放大倍数成反比，所以倍数越高，要求口径越大。
〔9〕戴进贤《星图》：清代来华德国耶稣会士戴进贤（Ignatius Koegler，1680——1746）编制的《黄道总星图》。其中描绘“五纬旁细星”即木星、土星的卫星时提到，要用大望远镜才能看到。
〔10〕《皇朝礼器图仪》：应为《皇朝礼器图式》，（清）允禄等撰，完成于1759年，是一部关于典章制度类器物的政书。其中第三卷载有四十余种天文仪器为主的科学仪器。
〔11〕窥表：本为古代天文仪器上的瞄准器，此处泛指天文仪器。《皇朝礼器图式》中的“四游千里镜半圆仪”和“双千里镜象限仪”等仪器上都有望远镜。
〔12〕梅余万：不详。
〔13〕事件：零件，部件。
【译文】
三种望远镜，应该分别确立名称以备后面论述时使用。现根据一凸一凹之制不大到寻丈就不足以发挥作用，只能用于观测天象，称之为观象远镜。两凸之制专门用在［天文仪器的］窥筒上，称之为窥筒远镜。四凸以上的，做大一些固然很好，做小一点到一尺来长，能力也很卓越，最方便游览，称之为游览远镜。
论：
望远镜由默爵首创，只有一凸一凹式流传下来。《畴人传》说“制作一个似平非平的中高镜”，可见其肤浅。后来汤若望著《远镜说》，南怀仁撰《灵台仪象志》，说法都一样。只有《天经或问》说“外平中凸”，大概是因为凸透镜度数浅而产生误解；其中还说“凹透镜拓展物像”，那就大错特错，不足为凭是很明显的了。然而见过的西洋小型制品，五六寸长的，只能在三五丈之内看见人的面目。那些较大的，直径不超过2寸，长不超过5尺，则都是由凸透镜构成，做工比一凸一凹复杂得多，在十几里范围内看山岳楼台，还能一清二楚，要是看月亮，也大大胜过肉眼，到了用来观星象，却胜过肉眼没有多少。后来的改进，能力反而赶不上，这是为什么？推测一下，《远镜说》虽然没有给出尺寸数值，但从图示看，镜筒有七节，最短也必定在1寻以上。而且凹透镜能缩小凸透镜［的像］，凸透镜的口径非五六寸不可。显然，这个仪器分量重、体积大，可以用来观天象戴进贤星图中曾说到“非大型望远镜不能观测”之类的话。但不方便登山临水。这莫非就是改进的缘由吗？曾见过几种多枚凸透镜构成的式样，揣在身上可以缩成五六寸，展开可以达到3尺。还见过外口有铜盖，开孔露出镜片只有二三分的一种，远处的寺院红墙上，能辨别方寸大小的题字，也算是游览的一件快事。料想这一种如果大到寻丈，性能也应该更加出色。由于不是常用的器具，所以很少能碰到。现在把早先出现的叫做观象镜，后来出现的叫做游览镜，只不过是按它们的侧重面来命名而已。又在《皇朝礼器图式》上见到窥表上配置的望远镜，制作法不详。梅余万先生曾把家藏的一具望远镜给我看，中间有铁丝十字叉，下面有一个托、一个铜球，猜测是仪器零件。最近见到西洋教堂展出的仪器，大小不同的两具，各自安有一个镜筒，的确和猜想的一样。所以称之为窥筒镜，只是选取它的专长来命名而已。
十九
观象镜不用倒法，游览镜必取倒理者，用其大光明也。夫子凸中既见倒景，非再倒之不得成顺象。然甲丙所合者是顺小象，而能使子凸中倒景成顺者，何也？
盖甲丙合而视远切目，止见白光，非离目远，不见顺象。因其顺象而小，故谓同凹理，本章十七。其实中有倒法。甲丙虽合凹理，而究不同者，凹切目视物，无论远近、昏目与否，皆小而顺；甲丙离目远，视远与凹同，切目视远，则无所见；无所见者，即不必是顺象。故视近如法，则见倒大象。亦一证也。试析而言之：
设子凸深尺六，甲、乙、丙各深二寸，置子距目约三尺，见倒象，内加甲乙或乙丙，皆见顺小象，何者？甲乙与乙丙本距显限，距显限皆倒象，能不倒子使复顺乎？第顺象则小，何者？子凸倒象本清而小，圆凸十六。甲乙与乙丙其距显限深略同，则倒象亦小。本章八。是故有甲乙、子，加丙于甲乙外，必大矣，离显限理也。圆凸十九。有乙丙、子，加甲于乙丙内，必大矣，切显限理也。圆凸十九。此两显限皆不出顺收限外，如出限则昏。今甲距乙乃倍之，丙距子乃十之，而不昏者，何也？盖外凸距内凸虽出限，而外凸既为倒象，即是大光明，故解其昏。本章八注。此又一理。然内凸视外凸，疵颣悉隐，未始非出限之故。故视镜自昏，显象自明也。然则共用四凸，是两层倒象使顺而清，两层显微使清而大也。
论曰：
以上各条，多举甲、乙、丙三凸者见例，以其余通为一理也。试论甲丁四凸者，则子见倒象，加乙丁必复顺，是甲为显微也。或加甲丙亦必复顺，是丁为显微也。他皆仿此。唯甲乙两凸一种，本无此制，其加乙于子内，亦未能遽见复顺，以乙之凸力浅故也。然加甲既能成远镜，则乙自有倒子者在，试伸之，遂见复顺，亦可征其理有必然者矣。
【译文】
之所以观象镜不运用颠倒影像的法则，游览镜却必须顾及颠倒影像的原理，是为了发挥大光明作用。子号凸透镜中既然呈现倒像，不再次颠倒就不能产生正像。但甲至丙合成的是正立缩小像，却能使子号凸透镜中的倒像变成正立，这是为什么？
将甲至丙合起来贴近眼睛去看远处，只看见白光，不离开眼睛较远，就不能看见正像。由于它使影像为正并且缩小，所以说它等同于凹透镜的性质，本章第十七条。实际上其中有产生颠倒的法则。甲至丙［透镜组］虽然组合成凹透镜的性质，但终归有所不同之处在于，将凹透镜贴近眼睛去看东西，不论是远是近、是否昏花，所见一律缩小并正立；将甲至丙［透镜组］与眼睛拉开较远距离，［透过它］看远处就跟用凹透镜一样，将它贴近眼睛看远处，就什么也看不见；既然什么也看不见，也就没有必要是正像。所以看近处方法得当，就能看见倒立放大像。这也是一个佐证。试来分析一下：
设子号凸透镜的深限是1.6尺，甲、乙、丙的深限各为2寸，将子放在距离眼睛约3尺的位置，就看见倒像，内端加入甲乙或乙丙，看见的都是正立缩小像，这是为什么？因为甲乙和乙丙本来是距显限，距显限都成倒像，能不颠倒子［的影像］使它正过来吗？只是正像就要缩小，这又是为什么？因为子号凸透镜所生倒像本来就清晰而缩小，“圆凸”第十六条。甲乙与乙丙的距显限深度大致相等，于是倒像也是缩小。本章第八条。因此有了甲乙和子，在甲乙外端加入丙，就必定放大，这是离显限的原理。“圆凸”第十九条。有了乙丙和子，在乙丙内端加入甲，就必定放大，这是切显限的原理。“圆凸”第十九条。这两种显限都不超出［顺收］限的范围，如果超出［顺收］限就会导致模糊。现在甲和乙的距离竟然［是顺收限］翻倍，丙和子的距离竟然十倍［于顺收限］，却并不导致模糊，这是为什么？原因在于，外凸和内凸之间的距离虽然超出［顺收］限，但外凸既然成倒像，就是大光明，所以消除了模糊。本章第八条注。这又是一种解释。但是从内凸看外凸，瑕疵全部消退，未必不是超出［顺收］限的缘故。所以看镜片自然模糊，呈现影像自然明晰。既然如此，一共使用四枚凸透镜，结果就是两层倒像导致正立而清晰，两层放大导致清晰而变大了。
论：
以上各条，一般只举甲、乙、丙三枚凸透镜作为示例，因为其余情况也能贯通为一种原理。试以从甲到丁四枚凸透镜的情况而论，那就是子呈现倒像，加入乙丁必定正过来，此时甲是放大镜。或者加入甲至丙［透镜组］也必定正过来，此时是丁是放大镜。其他情况都与此类似。只有［内凸由］甲乙两枚凸透镜构成的情况，本来就没有这种制式，当把乙加到子的内端时，也不能立即看见［影像］正过来，这是乙的深力较浅的缘故。但加上甲既然能成为望远镜，那么乙自然有颠倒子［的影像］的作用，试着拉伸镜筒，就看到［像］正过来，这也可以表明其中是有必然道理的。
二十
或疑：远镜三种，外用浅凸既从同〔1〕矣，内则或凹或凸，不亦异乎？曰：
观象镜外凸内凹，是用变显限法，本章十四。故以凸使远者大，以凹使昏者显，理最明著也。窥筒镜止有两凸，是用距显限法，本章十六。其浅限与深限相接之交，在浅凸，为极大而不清之处；圆凸十六。在深凸，为极大而切显〔2〕之处；圆凸十九。在目，为浅凸初倒未小而入大光明之处；圆凸十五。所以虽倒物象，视远殊胜，此理亦易知也。若游览镜，则兼此两法。其一以甲丙合成内凹，前已言之详矣。本章十一。其一以甲丙合成深凸。夫甲丙合则凸深，无烦诠说。然所以必具数面者，所见游览镜之内凸，自三面迄六面不等，兹虽止举甲丙三面者见例，然实通论，曰“数面”概之也。两法皆所必然。盖欲凸得大光明，有丙乙可矣，但不加以甲，不能切目为显微也；欲凸为切显限，有甲可矣，但不加以乙丙不能倒子使复顺象也。然则远镜三种，其制虽异，而使大使显，理则一以贯之矣。〔3〕
一系：
远镜之理，约言之，不过凸凹相济，一比例而已。目睛外凸，而内长有凹，原目五与七。〔4〕其长以寸计，见可数里，假令展长至数尺，必可见数十里，此比例之不得不然者。至其凸凹相济，则有数征：
夫人视物能近而不能远者，以远则形小色淡耳。原色七。今离目加凸，是推睛之凸使远。睛凸远，则远物近，故见为大。然凸不可望远，以大而昏也，圆凸二十三。故清之以凹。凹为大光明。圆凹十五。此征诸凸镜者一也。
抑目加凹，是杀睛之凸使浅。睛凸浅，则视可远矣。然凹不可混施，〔5〕圆凹十六及十八。故解之以凸。此征诸凹镜者二也。
若夫物远而小，则昏然如点点积尘，其理同老花之察近，不能辨也，原目六。故深之以凸。睛凸，加以凸镜，故深。老花察近，得凸斯〔6〕析。此征诸老花之目者三也。
抑物远，离目隔以凸镜，则小者可大而茫然，若闪闪夺光。原目六。其理同短视之望远，莫能明也，故杀之以凹。睛凸、镜凸，再加以凹镜，故凸杀。短视望远，得凹乃清。此征诸短视之目者四也。
【注释】
〔1〕从同：相同。
〔2〕此处“切显”二字是将“圆凸”第十九条对放大镜性质的定义压缩为一个概念来使用，即物体位于凸透镜焦距以内，眼镜从异侧贴近镜片（切）观察，看见物体放大而明晰（显）。
〔3〕以上将目镜和转像光组的作用原理讲得很清楚。
〔4〕“原目”第五条解释眼球的结构和功能说，眼睛外形为凸形，有聚光能力，叫做“外凸”；内部有伸缩能力，叫做“内长”。“原目”第七条说，眼球的前面是凸形，底部是凹形。这些说法主要来自《远镜说》，致使郑复光把眼睛的结构想象为一个微型伽利略式望远镜。
〔5〕凹不可混施：指非近视眼不能戴凹镜，近视眼的眼镜要“合目”。
〔6〕斯：乃，就。
【译文】
或许有人有疑问：三种望远镜，外端用浅度凸透镜既然是一致的，内端却有凹有凸，难道没有区别吗？回答是：
观象镜的外端为凸透镜、内端为凹透镜，运用的是变显限原理，本章第十四条。所以用凸透镜使远处物体显得放大，用凹透镜使模糊影像变得清晰，道理最明显不过。窥筒镜只有两枚凸透镜，运用的是距显限的原理，本章第十六条。较浅的［顺收］限与较深的［顺收］限的结合点，对于较浅凸透镜，是最大但不清晰的位置；“圆凸”第十六条。对于较深凸透镜，是物像最大而且显得清晰的位置；“圆凸”第十九条。对于眼睛，是较浅凸透镜［的影像］刚刚颠倒、尚未变小而进入大光明的位置；“圆凸”第十五条。因此虽然颠倒物像，望远却很出色，这个道理也是容易明白的。至于游览镜，那就兼有这两种法则。一是理解为以甲至丙［透镜组］组合成内端凹透镜，前面已有详细说明。本章第十一条。二是理解为以甲至丙［透镜组］组合成较深凸透镜。甲至丙［透镜组］组合就相当于凸度变深，这无须多解释。但一定要配备多枚的原因，见过的游览镜的内凸［组］，从三枚到六枚不等，这里虽然只举出甲至丙三枚作为示例，但实际上是贯通之论，概括性地说成是“多枚”。对两种法则都是必然的。那就是，要使凸透镜获得大光明，有丙乙就可以了，但不加上甲，就不能贴近眼睛起放大作用；要使凸透镜起切显限作用，有甲就可以了，但不加上乙丙就不能颠倒子［的影像］使它恢复为正像。因此，三种望远镜，制式虽然不同，但导致放大和明晰，道理却是一以贯之的。
一系：
望远镜的原理，简单地说，无非就是凸凹互相调剂，一个比例问题而已。眼球外形为凸，而里面的伸缩部分有凹形，“原目”第五条与第七条。它的［伸缩部分］长度以寸计，视野可以达到几里，假如使它延长到几尺，视野必定能达到几十里，这是一种必然的比例关系。至于它的凸凹互相调剂，则有几个佐证：
人之所以看物体能近而不能远，是因为远就会形状变小、颜色变淡。“原色”第七条。现在在眼睛前面加凸透镜并保持一定距离，相当于把眼球凸体推远。眼球凸体远了，远处的物体就显得近了，所以看起来变大。但是凸透镜不能望远，因为影像大而模糊，“圆凸”第二十三条。于是用凹透镜使它清晰。凹透镜是大光明。“圆凹”第十五条。这是从凸透镜得到的第一个佐证。
眼睛加凹透镜，相当于削减眼球凸度使它变浅。眼球凸度变浅，视野就延伸了。但是凹透镜［需要匹配视力］不能随便乱用，“圆凹”第十六条及第十八条。于是用凸透镜加以消解。这是从凹透镜得到的第二个佐证。
物体又远又小，则看起来模糊得像一点点堆积的灰尘，道理就如同老花眼看近处，不能分辨细节，“原目”第六条。于是用凸透镜予以加深。眼球凸，加上凸透镜，所以变深。老花眼看近处，有了凸透镜就能辨认分明。这是从老花眼得到的第三个佐证。
物体远，用凸透镜在眼睛前面拉开一点距离去看，则小的物体可以显得大而模糊不清，如同闪烁不定的光芒，“原目”第六条。道理就如同近视眼看远处，不能看得明白，于是用凹透镜加以削减。眼球和凸透镜都凸，再加上凹透镜，所以凸度削减。近视眼看远处，有了凹透镜就能看得清晰。这是从近视眼得到的第四个佐证。
二十一
远镜外凸愈浅则愈长，其能力〔1〕愈胜。然凸镜径寸半者，限四尺已几于平，而四尺之筒犹未足以观象，且凸过浅难于中度。用变浅限法，则凸顺收限二尺二寸，加侧收限四寸五分之凹，可变凸为七尺七寸焉，此亦妙用也。洋制佳者多有之。
一系：
凹若嫌深，亦可变浅。虽凹无顺限，借虚率，反此求之。凹用凸率、凸用凹率，如法入之〔2〕可用也。
论曰：
凡平镜相叠，恒如蒙气加厚，本章一。两凸相切亦然。独离之为距显限，则愈明，得其用故也。凸凹相切，既得其用，故无虑此矣。
【注释】
〔1〕物镜焦距越长，放大倍数越高，此处“能力”应即指此。
〔2〕入之：古算用语，意为将某种计算法纳入此处，即按某种既有计算法进行计算。入：容纳，纳入，采纳。见郭书春《九章筭术译注》，上海古籍出版社，2009年。
【译文】
外凸越浅的望远镜就越长，能力就越强。但是直径1.5寸的凸透镜，顺收限为4尺时已经差不多是平的，而4尺长的镜筒还不足以用于天文观测，而且度数太浅的凸透镜很难［制作得］精确。运用变浅限的规则，那么顺收限2尺2寸的凸透镜，加上侧收限4寸5分的凹透镜，就可以变成［顺收限］7尺7寸的凸透镜了，这也算一种巧妙的运用。上乘的西洋制品大多有这种组合。
一系：
如果嫌凹透镜太深，也可以使它变浅。虽然凹透镜没有顺限，借［凸透镜的换算率为］虚拟的换算率，按上面的例子反过来求取。凹透镜用凸透镜的换算率、凸透镜用凹透镜的换算率，按相应规则换算就行了。
论：
凡是平板透明体叠加起来，总是像雾气变厚一样。本章第一条。两枚凸透镜紧贴也是如此。唯独拉开距离成为距显限，就更加明晰，是作用得以发挥的缘故。凸透镜和凹透镜紧贴，既然作用得以发挥，就没有这方面的担心了。
二十二
两凸及两凹相切，则限加深，本章一。当名为变深限。〔1〕但凹加深，其限无可据，惟凸加深，则顺限必短，其理可得而详焉。
夫两凸同深，相叠则加深一倍，而限必减一半。〔2〕若甲深乙浅，相叠变深，则必短于甲之全限，而长于甲之半限可知也。〔3〕若乙愈浅，则变限愈长，而终不能长过甲之全限，亦可知也。〔4〕今揣其理：
如甲、乙俱深三寸，则变深必得寸五。设甲深三寸，乙或深六寸，其变深必得二寸二分五，何也？
盖三寸比六寸加深一倍，则三寸凸镜一面，即与六寸凸镜两面相并同。三寸凸并六寸凸，即与六寸凸镜三面相并同。两面三寸凸镜相并既变深为寸五，则四面六寸凸镜相并亦必变深为寸五。今三寸凸并六寸凸既如三面六寸凸镜相并，则其变深必长于四面六寸相并，短于两面六寸相并，而在两较之间〔5〕也。
夫四面六寸为寸五，两面六寸为三寸，其数为倍与半，则两较既在其间，必为寸五之半，而得七分五，故加七分五于寸五，共得二寸二分五也。〔6〕
爰推其算法：以甲凸加倍变深之限寸五，减乙凸限六寸，得较四寸五，为实〔7〕；以甲凸三寸除乙凸六寸，得倍数二，为法〔8〕；法除实，得二寸二分五，为所求。〔9〕
又法：以甲三寸除乙六寸，得倍数二；以倍数二除甲倍限〔10〕寸五，得七分五；减甲限三寸，得二寸二分五，为所求。〔11〕
论曰：
前法，以两凸同深者言之，则无倍数，亦无较数，而有变深限数；以两凸不同深者言之，则有倍，有较，又有变深限数，但其较数不可以例变深限。然两凸同深者，其甲倍限与乙顺限较，甲倍限者，谓甲凸三寸加倍之深限寸五也，下仿此。与乙顺限较者，谓乙亦深三寸，与甲倍限寸五相减之较寸五也。则所得之较数即如其变深数。故两凸不同深者，即借甲倍与乙之较以为较，则其倍数二与较数即如变深数四五〇之比，即同于倍数一与变深数即如较数二二五之比也。〔12〕此“异乘同除”之理〔13〕也。
又：
以甲三寸为主，使乙由三寸而杀〔14〕之，则变深自寸五而渐长，不能过三寸。以乙六寸为主，使甲由六寸而杀之，则变深自三寸而渐长，不能过六寸。故以寸半减深凸三寸，余亦寸半，为乙与甲同深，其变深与甲深之较。以是较减浅凸六寸，余四寸五，为乙与甲不同深，使浅凸乙变深之数。夫甲既三寸，则变深之数不能出三寸，而乃得四寸五者，以乙浅于甲之顺限有其倍故也。求其倍得二，以与变深数比例，则一倍与四寸五为原有数〔15〕，二倍为今有数〔16〕；以今有之倍二与原有之倍一，若原有之变深四五〇与今有之变深二二五也。〔17〕此“同乘异除”之理〔18〕也。
又法：
以寸五者，甲、乙同深之变深数，亦即变深数与深凸之较数也；今甲、乙不同深，则必有其倍数，求得倍数二，以除较数寸五，即得所求之较数七分五，以减甲深三寸，得二寸二分五，为所求之变深也。〔19〕
一系：
镜作凸凹，小浅大深为难。圆凸二。如图（图70）：
图70
乙丁与己辛同甲角，而庚壬虽长，己辛犹浅，欲求再长则难乎料矣；丙戊虽短，乙丁已深，欲求再短则难乎工矣；此凸法变浅所以妙也。有时用凹嫌深，亦可放〔20〕变浅法求之。本篇十二。至于两凸相切，不过使凸加深，为用甚稀。曾见洋制远镜，其外镜三面，子凸、丑凹，又加一寅为浅凸，未解其意。然度其理，殆因子丑相合稍觉其浅，故加一浅凸使略深耶？亦制作之巧也。
【注释】
〔1〕两枚凸透镜或两枚凹透镜密接，相当于一枚度数加深的透镜。所以“变深限”相当于两枚正负相同的透镜密接的系统焦距。
〔2〕从此句开始，郑复光将逐步推导变深限的线性插值公式。这是第一步。当焦距分别为f1和f2的两枚凸透镜密接时，若f1=f2=f，则系统焦距。这与现代理论值一致。
〔3〕第二步推导：甲（f1）深乙（f2）浅，即f1＜f2时，系统焦距最深的情况是f1=f2，最浅的情况是不叠加乙，所以。
〔4〕f2越大，则F也越大，但最大不能大于f1。
〔5〕两较之间：指两数之较的中间值。较，古算书中称被减数减去减数所得的差为较数，简称较。
〔6〕以上推演步骤为：一、3寸焦距的透镜深度比6寸的加倍，所以一枚3寸焦距的透镜相当于2枚6寸焦距的透镜叠合；二、根据上一步，2枚3寸焦距的透镜叠合，系统焦距为1.5寸，那么4枚6寸的叠合系统焦距也是1.5寸；三、现在一枚3寸焦距和一枚6寸焦距的透镜叠合，相当于3枚6寸的叠合，则系统焦距大于4枚叠合，而小于6枚叠合，取值在二者之间；四、4枚叠合的系统焦距为1.5寸，2枚叠合为3寸，那么3枚叠合的系统焦距取值在1.5和3之间，大于1.5而小于3的部分为；五、最后，一枚3寸焦距和一枚6寸焦距的透镜叠合系统焦距为1.5+0.75=2.25（寸）。
按现代公式计算的理论值为。很明显，0.25的误差产生于线性插值。
〔7〕实：此处指被除数。见“圆叠”第十一条注〔6〕。
〔8〕法：古算书中通称乘数、除数以及二次多项式中的一次幂项的系数为法数，简称法。下面的“法除实”相当于说“除数除被除数”。
〔9〕此处的“算法”可视为“计算法则”即公式。虽然文中仍以实际数据表述，看上去像一个例题，但其实是一个一般公式。这带有中国传统数学的特征。中国传统数学中很少有刻意追求公理化的痕迹，即使有严格而精密的算法或求解模型，一般也只在计算实例中表现出来。此处的算法可按现代表示法表示为：
设甲凸顺收限为f1，乙凸顺收限为f2，叠合系统焦距（变深限）为F。
以甲凸加倍变深之限，与乙凸限f2相减，即为。以这个较（差）为实（被除数）；
以甲凸顺收限除乙凸顺收限，得到一个倍数。以这个倍数为法（除数）；
法除实得，即为要求的F。
〔10〕倍限：意为深度加倍的变深限，但郑复光以这个简称为专门术语，详后。
〔11〕另一算法：
以甲凸顺收限除乙凸顺收限，得到一个倍数；以这个倍数除甲倍限为，再将其从甲限中减去，得，即为要求的F。
综上所述，郑复光的变深限公式为：
如上言，文中虽以3寸和6寸为实际数据，按计算实例而非一般公式来叙述，但在后文中却明显把（1）式作为一般公式加以运用，在“圆率”章中尤为明确。
按：（1）式与现代几何光学公式相较，表面上看不出相通关系。我们对现代公式作如下变形：
可以直观看出，（1）对于（2）式，是一个比较精彩的近似公式。其近似性在于以2代替，后者取值在1到2之间（f1＜f2）。这个2的物理意义是，当两枚焦距相等的凸透镜叠合时，深力加倍而焦距减半；以限长（焦距）而论，谓之半限；以深力而论，谓之倍限。
在“圆率六”中，郑复光列出运用（1）式的六个应用例题，将例题中的数据与我们用（2）式计算出的数据作一比较，就更清楚（1）、（2）两式之间的近似关系了。见下表：
按：这一类定量公式，是全凭精密实验和线性插值建立起来的。可以说达到了缺少折射模型情况下的极限。所得结果虽然跟现代理论中的定律和解析解相比有差距，但这是从零开始的创造，其中表现出的科学精神是崇高的，成果也是巨大的。 《镜镜詅痴》全书中的所有定量结论，最大误差一般都在0到10%之间，用于当时的眼镜、放大镜、望远镜、简易投影机、取景镜等制造，已经算得上很精密，如此有深度的研究，在当时可谓独一无二，在今天则不应埋没其功绩。
〔12〕以上是对前面建立的“算法”的解释。当f1=f2=f时，其甲倍限与乙顺限较即为变深限F；当f1≠f2（f2＞f1）时，由于乙的顺收限变长、深力变小，所以与甲叠加后总的深力也较小，即变深限较长；郑复光认为，此时的较数还不能直接表征变深限，变深程度满足一个比例关系，即当前倍数与较数之比，等于甲乙相等时的倍数1与变深限F之比，由此得到注〔9〕，中的公式。
〔13〕古算书中把用比例式“”求x的方法叫做“异乘同除”。
〔14〕杀：减少。但须注意，凸透镜深力减小则焦距增大，焦距减小则深力增大，此减彼增。此处“渐杀”者，是指深力，故不可理解为焦距（3寸）减小，焦距反而是增大。以焦距f1为3寸的甲为主，f2越大（渐杀）则F也越大，但最终不能大于3寸（f1），因为大于3寸就不是变深了。这从郑复光的公式也可以理解，对于前面的（1）式，f2最大为∞，相当于在透镜上叠加平玻璃，此时F=f1（即3寸）。
〔15〕原有数：古代算数术语。在比例式“a·b=c·x”中，a和b叫做原有数。
〔16〕今有数：即上注比例式中的c和x。
〔17〕以上继续解释，当f1=f2=f时，乙顺限减甲倍限这个变深数直接就是变深限F，那么当甲、乙不相等时，为什么变深数不能等于变深限呢？因为变深限最大不能大于f1，但当f2不断增大时，有可能大于f1，这时还需考虑f2与f1之间的倍数关系。f1=f2时的倍数1和变深数为原有数，当前倍数为今有数，即：。按比例法，则相当于今有的倍数与原有的倍数1之比，等于原有的变深数与今有的变深数F之比，即：。
〔18〕古算书中把用比例式“a·b=c·x”求x的方法叫做“同乘异除”。
〔19〕此处提出另一解释模式。可以从较深凸透镜（甲凸）的角度来理解，把变深限理解为从甲凸顺收限的数值f1中减去一个表示变深程度的减数，这个减数在f1=f2=f时，为
当f1≠f2（f2＞f1）时，还要用此时的倍数去除，得到为表示变深程度的减数，将这个减数从甲凸顺收限f1中减去，得
即为要求的变深限F。
〔20〕放：通“仿”。
【译文】
两枚凸透镜或两枚凹透镜紧贴，则深限加深，本章第一条。理当命名为变深限。但凹透镜加深，它的深限没有实际依据，只有凸透镜加深，顺收限必定变短的情况，其原理是可以详细推究的。
两枚凸透镜深度相等，叠合起来深度就增加一倍，而深限必定减到一半。如果甲深乙浅，叠合起来变深，那么变深限必定比甲的整个深限短，同时比甲的半个深限长，这是可想而知的。如果乙更浅，那么变深限就更长，但最终不能超过甲的整个深限，这也是可想而知的。现在来揣测它的道理：
如果甲、乙的深度都是3寸，那么变深限必定得出1寸5。假设甲的深度为3寸，乙的深度姑且设为6寸，变深限必定得出2寸2分5，这是为什么？
3寸比6寸加深了一倍，那么1枚3寸深凸透镜，就相当于2枚6寸深凸透镜合并。3寸深凸透镜与6寸深凸透镜合并，就相当于3枚6寸深凸透镜合并。既然2枚3寸深凸透镜合并时变深为1寸5，那么4枚6寸深凸透镜合并时也必定变深为1寸5。现在3寸深凸透镜与6寸深凸透镜合并既然相当于3枚6寸深凸透镜合并，那么变深程度必定比4枚6寸的合并要长，比2枚6寸的合并要短，［取值］在两数相减的差数中间。已知4枚6寸的结果是1寸5，两枚6寸的结果是3寸，数值各是对方的加倍和减半，那么既然在两数相减的差数中间，必定是1寸5的一半，而得到7分5，于是把7分5加到1寸5上，总共就得到2寸2分5。
现在来推演计算法则：以凸透镜甲深度加倍的变深限1寸5，与凸透镜乙的深限6寸相减，得出差数4寸5，作为被除数；以凸透镜甲深限3寸除凸透镜乙深限6寸，得出倍数2，作为除数；除数除被除数，得出2寸2分5，为要求的结果。
另一法则：以甲深限3寸除乙深限6寸，得倍数2；以倍数2除甲的倍限1寸5，得7分5；与甲深限3寸相减，得2寸2分5，为要求的结果。
论：
前面的算法中，就两枚凸透镜深度相等的情况而论，就没有倍数，也没有差数，但是有变深限数；以两枚凸透镜深度不同的情况而论，就有倍，有差，又有变深限数，但此时的差数不能直接作为变深限的通则。然而在两枚凸透镜深度相等的情况下，甲的倍限与乙的顺收限相减，所谓甲的倍限，是指3寸深的凸透镜甲深度加倍时的深限1寸5，以下同。所谓与乙的顺收限相减，是指乙的深度也是3寸，与甲的倍限1寸5相减的差数1寸5。得出的差数就是变深数。所以对两枚凸透镜深度不同的情况，就借甲倍限和乙深限的差数为差数，则倍数2与差数等于当前变深数4.50之比，就等于倍数1与变深数等于当前差数2.25之比了。这是“异乘同除”的法则。
另一种思路：
以甲深限3寸为准，使乙深限从3寸开始减少，那么变深限就从1寸5开始逐渐变长，不能超过3寸。以乙深限6寸为准，使甲深限从6寸开始减少，那么变深限就从3寸开始逐渐变长，不能超过6寸。所以以1.5寸与较深凸透镜深限3寸相减，剩余还是1.5寸，这是乙与甲深度相等时，变深数与甲深限的差数。以这个差数与较浅凸透镜深限6寸相减，剩余4寸5，这是乙与甲深度不同时，使浅凸透镜乙变深的数值。既然甲深限是3寸，那么变深的数值就不能超过3寸，但却得出一个4寸5，这是因为乙比甲的顺收限浅是有倍数的。求这个倍数得2，用来与变深数进行比例计算，则1倍与4寸5为原有数，2倍为今有数；今有的倍数2与原有的倍数1之比，等于原有的变深数4.50与今有的变深数2.25之比。这是“同乘异除”的法则。
另一种算法：
由于这个1寸5是甲、乙深度相等时的变深数，也就是变深数与较深凸透镜深限的差数；那么现在甲、乙深度不同，就必定有一个倍数，求得倍数为2，用来除原来的差数1寸5，就得到当前要求取的差数7分5，用来与甲的深限3寸相减，得2寸2分5，就是要求取的变深限数。
一系：
镜片要做成凸形和凹形，小而浅和大而深是困难的。“圆凸”第二条。如图（图70）：
乙丁和己辛同为甲角［的弧］，此时庚壬虽然较长，己辛还是较浅，想要更长就难找到材料了；丙戊虽然较短，乙丁却已经较深，想要更短就很难加工了；凸透镜［叠加］变浅法的妙处就在于此。有时使用凹透镜觉得太深，也可以仿照变浅法解决。本篇第十二条。至于两枚凸透镜紧贴，只不过使凸度加深，用途很少。曾见过一具西洋制造的望远镜，外端镜片有三枚，子号凸透镜、丑号凹透镜，又加一枚浅凸透镜寅，不明白其中意图。但揣度它的道理，大概是因为子、丑叠合觉得稍微偏浅，所以加一枚浅凸透镜使它略微变深一些吧？也算是制作上的一种巧妙。
圆率〔1〕
一
凸限全率表〔2〕
用一：有单凸，正面侧收限二寸，求：深力即顺收限几何？
答曰：一尺二寸。
法：置〔3〕正面侧收限二寸。检表一顺收限得六，谓之单率六〔4〕，此为单率所恒用。入后止称单率六，以从省便。为法，乘之，即所求。又法：检表一较率〔5〕得五，以乘侧限，加之。
用二：有单凸，景面侧收限六寸，求：深力几何？
答曰：一尺二寸。
法：置景面侧收限六寸。检表一景面侧收限得三、顺收限得六，爰六乘、三除，即所求。又法：置六寸，倍之。
用三：有双凸，每面侧收限二寸，求：深力几何？
答曰：八寸。
法：置二寸。检表二顺收限得四，谓之双率四〔6〕，此为双凸所恒用。为法，乘之，即所求。又法：检表二较率得三，以乘二寸，加之。
用四：有畸凸，侧收限正面二寸、副面三寸八分，求：深力几何？
答曰：九寸八分。
法：以正除副，得倍数一九。检表三侧收限得相近略小者，正一〇，副一一。爰以副一一与一九相减，余较八。其顺收限四一，乃加较，得四九，为法，乘正面二寸，即所求。〔7〕又法：检表三较率得三，以乘正限二寸，得六寸，加副限三寸八分，亦得。
用五：有单凸，顺收限一尺二寸，求：正面侧收限几何？
答曰：二寸。
法：以单率六除之，即所求。又法：五因、三归之〔8〕。
用六：有单凸，顺收限一尺二寸，求：景面侧收限几何？
答曰：六寸。
法：六归、三因之，即所求。又法：半之。
用七：有双凸，顺收限八寸，求：侧收限几何？
答曰：二寸。
法：以双率四除之，即所求。
用八：有畸凸，顺收限九寸八分，侧收限正面二寸，求：副面几何？
答曰：三寸八分。
法：检表三较率得三，以乘正二寸，得六寸，为法，减顺收限，余得所求。
用九：有畸凸，顺收限一尺四寸一分，侧收限副面五寸一分，求：正面几何？
答曰：三寸。
法：以副限减顺限，余九寸，以较率三除之，即所求。
用十：有甲、乙两凸，侧收限甲一面四寸、一面一尺二寸，乙一面二寸、一面五寸。求：两凸异同。
答曰：甲单乙畸。
法：以深约〔9〕浅，恰得三倍者为单，不足三倍者畸也。
用十一：有双或畸凸，顺收限九寸，求：同深之单侧收限几何？
答曰：一寸五分。
法：以单率六除之，即所求。
若各以侧收限为问，则如法各先求其顺限，双法见用三，畸法见用四。以六除之。
一系：
表载全率，用或不具，凡制器者，每求一数，必兼数法考核之，则得数准确，不可不知。本《浑盖通宪》〔10〕。
【注释】
〔1〕圆率：指球面透镜的各种数值之间的相互关系，相当于“球面透镜的定量规则”。
〔2〕这个表中各个数值的意义和彼此间关系解释如下：
1. 表一、表二、表三分别为单凸（平凸透镜）、双凸（对称双凸透镜）和畸凸（不对称双凸透镜）三种凸透镜的成像常数换算表。
2. 成像常数共有6个：（1）顺收限，平行光会聚点距镜片距离，即像方焦距；（2）顺展限，成最大实像时的物距，数值上无限接近物方焦距；（3）顺均限，成等大实像时的物距或像距（二者相等），即二倍焦距；（4）侧收限，凸透镜内表面对平行光反射聚焦的焦距；（5）侧展限，凸透镜内表面反射成最大实像时的物距，数值上无限接近反射面焦距；（6）侧均限，凸透镜内表面反射成等大实像时的物距或像距（二者相等），即二倍反射面焦距。
3. 表中数据均为“比率”，即倍数。对任意一枚凸透镜，已知一个常数，即可通过查表，求取其余五个中的任一个。比如已知某双凸透镜侧收限为2寸，求顺收限，查表得知比率为4，即可得顺收限为8寸。
4. 表中各类凸透镜的两面顺收限都相等，故一律为薄透镜。
5. 收限和展限在数值上都表征焦距，二者应相等或接近，但表中数据展限一律比收限偏小10%，应是测量误差。可分析误差原因。展限是生实像的物距，小于焦距即不生实像，实际上还应该略大于收限。故唯一解释是收限测量值偏大。收限测量值偏大意味着入射光束不是理想平行光，即光源放置不够远。“圆凸”第十一条说：“收限之光、展限之壁，其距镜必远，方无改移。约灯体寸余、凸深即顺收限寸余，则远须尺余……今名曰限距界，愈远益确。”虽然郑复光接着就指出“凡验凸深浅宜用日月之光”。但大量的测量应在室内进行，否则也没有规定限距界的必要，而且观察实像需要暗室。尤其值得注意的是，郑复光规定的限距界是焦距的10倍，此时聚焦点位置恰好大于焦距10%左右：
6. 顺限和侧限的关系为现代几何光学所无，应着重分析。由“圆凸”第七条可知，畸凸的顺侧两限之比系由线性插值法求得。已知单凸两面侧收限之比为1:3时，顺收限为6；双凸两面侧收限为1:1时，顺收限为4。以上两种情况是凸透镜两个表面曲率比的最大和最小界限，曲率比在两者之间即为畸凸。按算术平均插值法可得，畸凸两面侧限比为1:1.1时，顺限为4.1；侧限比为1:2时，顺限为5；侧限比为1:2.9时，顺限为5.9。如下表（即“凸限全率表”的第一和第四行数据）：
可按现代几何光学对上表进行核算。根据Г.Г.斯留萨列夫著《几何光学》，图31（a）中的S（即侧收限）如下式：
对理想薄透镜，取d=0，得下面（1）式：
平凸顺收限如下式：
畸凸顺收限如下式（r1=r2时为双凸）：
以上诸式中，r1和r2分别为透镜第一表面和第二表面的曲率半径，取n=1.5，注意不同情况下曲率半径的正负号，可算出：
比较以上两表可知，郑复光原表中的平凸和双凸数值为实测值，与理论值相等。用线性插值法求得的畸凸数值自然有以直代曲的误差。
7. 原表最后一行为“两收限较”。“较”为“差”。所以这一行可以叫“差率”。也是用来进行换算。是用比率换算的另一法。比如，已知某双凸透镜侧收限为2寸，按比率顺收限为4倍，得8寸。按差率，顺收限比侧收限多3倍，所以在2寸上再加3个2寸即得8寸。不对称透镜的差率只计一面，另一面注明“此较无用”。
8. 表中各个数值并非二位数、三位数、四位数，而是小数。比如“六〇〇”并非600而是6.00。600在古代一般写作六百而非“六〇〇”。“六〇〇”恰恰是中国古代算术不写出小数点而用位置表示的书写法。在后面的所有应用例题中，都称为“六”而非“六百”。又如，“五五一”并非551而是5.51，在后面正文中也能看出来。这些数值都代表比率，而不是某种实际数据，当然是取个位数。
〔3〕置：本意为布置筹算，见“圆凹”第四条注〔1〕。
〔4〕单率六：单凸透镜的顺收限与正面侧收限的比率为6，故称单率六。
〔5〕较率：顺收限的率数与侧收限的率数之差。
〔6〕双率四：双凸透镜的顺收限与正面侧收限的比率为4，故称双率四。
〔7〕此例表达了“凸限全率表”作为一个线性插值模型的用法。表中载有两面侧收限之比为1:1.1和1:2的各比值，现在要计算的凸透镜两面侧收限之比为1:1.9，于是在前两者之间继续线性插值。
〔8〕五因、三归之：古人有一些速算法，将乘数或除数分解为几个一位数的因数，从而将乘法或除法运算化为个位数的连乘、连除。因：古人称一位数乘法叫“因”。杨辉《乘除通变算宝》中有“相乘六法”。其“单因”法：“细物一十二斤半、税一，今有二千七百四十六斤。问：税几何？”“术曰：八因以代一二五除也。”这相当于说2 746÷12.5=2 746÷100×8。又“重因”法：“绢二百七十四匹，每匹四十八尺，问：共几尺？”“草曰：置绢数，六因之，八因之。”这相当于说：274×48=274×6×8=1 644×8=13 152。此处的“五因”，为以10除、以5乘。在杨辉的速算法中，以15为除数的除法化为“二因、三归”。可见“二因”为以2乘、以10除，相当于以5除；反之，“五因”为以10除、以5乘，相当于以2除。这些古代速算法，有的在今天看来似乎不必要，但在筹算中是有效果的。归：除。见“圆叠”第十三条注〔8〕。
〔9〕约：本意为约减，此处为除。
〔10〕《浑盖通宪》：即《浑盖通宪图说》，利玛窦和李之藻合作翻译的介绍西方简平仪的著作，成书于1607年，底本为利玛窦的老师克拉维乌斯的《论星盘》（Astrolabium）。该书讲测量法，常常一个问题有数法，郑复光也经常提出“又法”，可见在思想方法上受其影响。其书中云：“凡位置，星辰必须兼前数术以相参验，始可无爽。”
【译文】
凸限全率表
应用一：有一枚单凸透镜，正面侧收限为2寸，求：深力即顺收限为多少？
答：1尺2寸。
求法：设定正面侧收限2寸。查表一顺收限得到6，称之为单率6，单凸透镜的换算率总是使用这个数值。为简便计，以后只称单率6。作为乘数，乘它，即为要求的结果。另一求法：查表一较率得到5，以它乘侧收限，再加上侧收限。
应用二：有一枚单凸透镜，影面侧收限为6寸，求：深力为多少？
答：1尺2寸。
求法：设定影面侧收限6寸。查表一影面侧收限得到3、查顺收限得到6，就以6乘、以3除，即为要求的结果。另一求法：设定6寸，将它翻倍。
应用三：有一枚双凸透镜，每面侧收限为2寸，求：深力为多少？
答：8寸。
求法：设定2寸。查表二顺收限得到4，称之为双率4，双凸透镜总是使用这个换算率。作为乘数，乘它，即为要求的结果。另一求法：查表二较率得到3，以它乘2寸，再加上2寸。
应用四：有一枚畸凸透镜，侧收限正面为2寸、副面为3寸8分，求：深力为多少？
答：9寸8分。
求法：以正面侧收限除副面侧收限，得倍数1.9。查表三侧收限找到相近但是略小的数值，为正面1.0、副面1.1。然后以副面比率1.1与1.9相减，剩余差数0.8。此时顺收限为4.1，就加上差数，得4.9，作为乘数，乘正面侧收限2寸，即为要求的结果。另一求法：查表三较率得到3，以它乘正面侧收限2寸，得6寸，再加上副面侧收限3寸8分，同样得出结果。
应用五：有一枚单凸透镜，顺收限为1尺2寸，求：正面侧收限为多少？
答：2寸。
求法：以单率6除它，即为要求的结果。另一求法：以10除并以5乘、再以3除它。
应用六：有一枚单凸透镜，顺收限为1尺2寸，求：影面侧收限为多少？
答：6寸。
求法：以6除、以3乘它，即为要求的结果。另一求法：将它减半。
应用七：有一枚双凸透镜，顺收限为8寸，求：侧收限为多少？
答：2寸。
求法：以双率4除它，即为要求的结果。
应用八：有一枚畸凸透镜，顺收限为9寸8分，侧收限正面为2寸，求：副面侧收限为多少？
答：3寸8分。
求法：查表三较率得到3，以它乘正面侧收限2寸，得6寸，作为减数，与顺收限相减，剩余差数即为要求的结果。
应用九：有一枚畸凸透镜，顺收限为1尺4寸1分，侧收限副面为5寸1分，求：正面侧收限为多少？
答：3寸。
求法：以副面侧收限与顺收限相减，剩余9寸，以较率3除它，即为要求的结果。
应用十：有甲、乙两枚凸透镜，侧收限甲一面为4寸、一面为1尺2寸，乙一面为2寸、一面为5寸。求：两枚凸透镜的区别。
答：甲是单凸透镜，乙是畸凸透镜。
求法：以较深一面侧收限除较浅一面侧收限，倍数正好为3倍的是单，不足3倍的是畸。
应用十一：有一枚双凸透镜或畸凸透镜，顺收限为9寸，求：同等深度的单凸透镜的侧收限为多少？
答：1寸5分。
求法：以单率6除它，即为要求的结果。
如果分别以侧收限来提问，就按规则先分别求得顺收限，双凸透镜的求法见应用三，畸凸透镜的求法见应用四。以6除它。
一系：表中的全部比率，不一定涵盖所有应用，但凡制作仪器时，每求一个数据，一定要用几种方法进行核算，结果才能准确，不可不知。根据《浑盖通宪》。
二
凹限全率表〔1〕
用一：有单凹，侧收限二寸，求：与凸相切适平，问凸顺收限几何？
答曰：一尺二寸。
法：置侧收限二寸，检表一深限得六，亦谓之单率六，乘之，即所求。此与凸侧限求顺限同，其又法不备载，余仿此。
用二：有单凹，侧收限二寸，求：与双凸相切适平，问双凸侧收限几何？
答曰：三寸。
法：置二寸，六乘、四除，即所求。
盖置二寸，六乘、四除者，先求得深限，再除得侧限也。
用三：有双凹，每面侧收限二寸，求：与凸相切适平，问凸顺收限几何？
答曰：八寸。
法：置二寸。检表二深限得四，亦谓之双率四，为法，乘之，即所求。
用四：有双凹，每面侧收限三寸，求：与单凸相切适平，问凸侧收限几何？
答曰：二寸。
法：置三寸，四乘、六除，即所求。
用五：有畸凹，侧收限正面一寸二分、副面三寸，求：与凸相切适平，问凸顺收限几何？
答曰：六寸六分。
法：以正除副，得倍数二五。检表三侧收限得相近略小者，正一〇、副二〇。爰以副二〇与二五相减，余较五。其深限五十，乃加较五，得五五，为法，乘正面一寸二分，即所求。此法与下用六互文见例〔2〕。
用六：有畸凹，侧收限正面一寸二分、副面三寸，求：与单凸相切适平，问凸侧收限几何？
答曰：一寸一分。
法：检表三较率得三，以乘正限，得三寸六分，加副限，以单率六除之，即所求。
用七：有双凹，侧限三寸，求：同深单凹侧限几何？
答曰：二寸。
法：四乘、六除，即所求。
一系：凹无顺限，而理与凸通，故借凸顺限为深限虚率用之。
【注释】
〔1〕此表原有一处明显误刻：侧展限最左边一个数据“六二一”为“二六一”之误，今已正之。深限最右边，应只有“六〇〇”而没有旁边的“〇”，但仍依原刻。
由于凹透镜在透射时不能会聚光束、不能产生实像，所以当时还没有测量凹透镜焦距的方法，郑复光在“圆凹二”中亦表明其“难以量取”。但凹透镜的两个表面对光反射时，能会聚光束，可供测量侧收限（以及侧展限、侧均限），故其深力“惟有侧收限可凭”。其实直接用这个可以实测的侧收限来表征凹透镜的深力，也是可以的，它与焦距的关系是简单的比例关系，仅相当于单位不同。郑复光在“圆凹四”中也明确表达了这一正确思路：“凹无顺限，以其侧限为深，未为不可……”结果同样是“凹愈深，限愈短”。但是郑复光想要“与凸通为一例”，并且考虑到畸凹的两面曲率不同，不能只凭任意一面的侧收限来换算深力。这里出现了一个问题，既然凹透镜没有顺收限，即没有实焦点，那么侧收限与深限的比率如何确定呢？郑复光认为可以“借凸率虚取之”，于是“凹限全率表”就是“凸限全率表”的侧三限部分。其中，单凹（平凹透镜）的“景（影）面”（平面）对光时，连侧收限也没有，所以表中注明“此行（列）无数”。
然而这种处理是有问题的。凸透镜侧收限是图31a中的S，是经第一表面折射进入、再经第二表面反射、再从第一表面折射出来而产生，与两面曲率半径的关系如“圆率”第一条注〔2〕中的（1）式所示；凹透镜的侧收限只是由第一表面的反射直接产生，与凹面镜完全一样，如图31b所示，侧收限与曲率半径的关系并非上述（1）式，而只是简单地等于第一表面的半径的二分之一。所以凹透镜的深限与侧收限之间的比率，在物理意义上是不能“与凸通为一例”的。郑复光很清楚“通光凹之面受光，与含光凹等”（“圆凹”第五条），但不清楚凸透镜的侧收限经过了两次折射而与之不同。在光的行为的解释上，缺少一个折射模型，这是当时中国的现状。于是郑复光虽然通过精密而系统的实验建立了正确的“凸限全率表”，但直接套用该表中侧三限部分的“凹限全率表”却与凹透镜深限的物理意义不符。按现代公式，凹透镜的侧收限为：
其中r为第一表面的曲率半径。不考虑负号，平凹透镜的焦距为：
双凹和畸凹透镜的焦距为：
其中r1和r2分别为透镜第一表面和第二表面的曲率半径。取n=1.5，根据以上三式可计算出下表的第三行。第一、二两行是“凹限全率表”中的数值。
从上表可知，郑复光所得的凹透镜深限，数值上与现代理论值相比一律大得多。这是一种系统误差，即每个数值的偏大程度都是一样的。应该指出，这并不妨碍郑复光对透镜构成的仪器进行合理的定量设计。因为，正如前面所言，这只是表明凹透镜的深限在物理意义上不表征焦距，但与焦距有比例关系，相当于单位不同而已。也就是说，当郑复光说某凹透镜深限为6寸时，相当于我们说焦距4寸；说4寸相当于2寸，说4.63寸相当于2.10寸，等等。
〔2〕互文见（xiàn）例：“互文”是古诗文中常用的修辞方法，通常是将一个句子的各部分分开写到两个句子里去（也有单句互文），要两句互相补充、渗透，才能表现出完整的意思。此处指两个应用题的已知数相同，但条件和所求不同，两个例题本可合并为一题多问，但分为两题，互相补充为一个完整的计算规则。例，条例，规则。
【译文】
凹限全率表
应用一：有一枚单凹透镜，侧收限为2寸，求：与某凸透镜紧贴而恰如平镜，问该凸透镜顺收限为多少？
答：1尺2寸。
求法：设定侧收限2寸。查表一深限得到6，也称之为单率6，乘它，即为要求的结果。这与凸透镜的侧限求顺限相同，另一解法不再提供，其余仿照此例。
应用二：有一枚单凹透镜，侧收限为2寸，求：与某双凸透镜紧贴而恰如平镜，问该双凸透镜侧收限为多少？
答：3寸。
求法：设定2寸，以6乘、以4除，即为要求的结果。
设定2寸，以6乘、以4除的意思是，先求出深限、再除得侧收限。
应用三：有一枚双凹透镜，每面侧收限为2寸，求：与某凸透镜紧贴而恰如平镜，问该凸透镜顺收限为多少？
答：8寸。
求法：设定2寸。查表二深限比率得到4，也称之为双率4，作为乘数，乘它，即为要求的结果。
应用四：有一枚双凹透镜，每面侧收限为3寸，求：与某单凸透镜紧贴而恰如平镜，问该单凸透镜侧收限为多少？
答：2寸。
求法：设定3寸，以4乘、以6除，即为要求的结果。
应用五：有一枚畸凹透镜，侧收限正面为1寸2分、副面为3寸，求：与某凸透镜紧贴而恰如平镜，问该凸透镜顺收限为多少？
答：6寸6分。
求法：以正面侧收限除副面侧收限，得倍数2.5。查表三侧收限找到相近但是略小的数值，为正面1.0、副面2.0。然后以副面比率2.0与2.5相减，剩余差数0.5。此时深限为5.0，就加上差数0.5，得5.5，作为乘数，乘正面侧收限1寸2分，即为要求的结果。这个求法与下面的“应用六”参互体现规则。
应用六：有一枚畸凹透镜，侧收限正面为1寸2分、副面为3寸，求：与某单凸透镜紧贴而恰如平镜，问该单凸透镜侧收限为多少？
答：1寸1分。
求法：查表三较率得到3，以它乘正面侧收限，得3寸6分，再加上副面侧收限，以单率6除它，即为要求的结果。
应用七：有一枚双凹透镜，侧收限为3寸，求：同等深度的单凹透镜侧收限为多少？
答：2寸。
求法：以4乘、以6除，即为要求的结果。
一系：凹透镜没有顺限，但道理与凸透镜相通，所以借凸透镜顺限作为深限的虚拟比率来运用。
三
两凸相离距显限率表〔1〕
用一：有甲、乙两凸相等，顺收限二寸，求：距显限几何？
答曰：四寸。
法：并两顺收限，即所求。
用二：有甲、乙两凸不等，顺收限甲一寸五分、乙一尺九寸，求：距显限几何？
答曰：二尺零五分。
法：并两顺收限，即所求。
用三：有两凸不等，距显限二尺〇五分。或知深凸顺收限一寸五分，求：浅凸几何？或知浅凸顺收限一尺八寸，求：深凸几何？
答曰：深凸一寸五分者，浅凸一尺九寸。浅凸一尺八寸者，深凸二寸五分。此谓四凸不等，其两凸一深一浅，各为一距显限则相等者。
法：置距显限二尺〇五分，以减深凸一寸五分，余为所求浅凸一尺九寸。若减浅凸一尺八寸，余为所求深凸二寸五分。
用四：有深凸，顺收限一寸，求：足距〔2〕之浅凸几何？
答曰：八寸。
法：置深凸限一寸，八之，即所求。
用五：有浅凸，顺收限四尺，求：足距之深凸几何？
答曰：五寸。
法：置浅凸限四尺，八而一，即所求。
【注释】
〔1〕这个“两凸相离距显限率表”只是以数值表示两镜距等于两焦距之和，即L=f外凸+f内凸。
〔2〕足距：此足距为开普勒望远光组的数值规定，包括两镜距和两镜焦距比，此处指后者。伽利略式望远镜的两镜焦距比规定见于前面“圆叠”第十三条。开普勒式的两镜焦距比的足距规定却未事先给出，而是首次直接出现在这个例题中，并在后面的“作远镜”第十条中再次提出。按此足距规定，物镜和目镜的焦距比为8比1，在今天看来就是规定望远镜的放大倍数为8倍。
按：现代设计也以8倍为最恰当的放大率。这表明郑复光对望远镜的研制富有经验，从理论上说，也是他对望远镜的放大率、视场和亮度之间关系有深刻把握的必然结果。
【译文】
两凸相离距显限率表
应用一：有甲、乙两枚相同凸透镜，顺收限为2寸，求：距显限为多少？
答：4寸。
求法：两个顺收限相加，即为要求的结果。
应用二：有甲、乙两枚不同凸透镜，顺收限甲为1寸5分、乙为1尺9寸，求：距显限为多少？
答：2尺零5分。
求法：两个顺收限相加，即为要求的结果。
应用三：有两枚不同凸透镜，距显限为2尺零5分。如果已知深凸透镜的顺收限为1寸5分，求：浅凸透镜顺收限为多少？又如果已知浅凸透镜的顺收限为1尺8寸，求：深凸透镜顺收限为多少？
答：深凸透镜顺收限1寸5分时，浅凸透镜顺收限1尺9寸。浅凸透镜顺收限1尺8寸时，深凸透镜［顺收限］2寸5分。这指的是4枚凸透镜不相等，其中每两枚凸透镜一深一浅，分别构成一个相等的距显限。
求法：设定距显限2尺零5分，减去深凸透镜顺收限1寸5分，剩余差数即为要求的浅凸透镜顺收限1尺9寸。如果减去浅凸透镜顺收限1尺8寸，剩余差数即为要求的深凸透镜顺收限2寸5分。
应用四：有一枚深凸透镜，顺收限为1寸，求：足距的浅凸透镜顺收限为多少？
答：8寸。
求法：设定深凸透镜顺收限1寸，取它的8倍，即为要求的结果。
应用五：有一枚浅凸透镜，顺收限为4尺，求：足距的深凸透镜顺收限为多少？
答：5寸。
求法：设定浅凸透镜顺收限4尺，取它的八分之一，即为要求的结果。
四
凸凹相切变浅限率表〔1〕
凡到界则适平，平则无限。然既以为界，则无限而有数。故取以为率，期适其用而已。
用一：有凸，侧收限四寸；凹，侧收限八寸，相切。求：变浅限几何？
答曰：四尺八寸。
法：检表一界率三，乘凸限四寸，得一尺二寸。以凹限八寸减之，余较四寸。以加凸限四寸，得八寸，为侧限数。爰以单率六乘之，得四尺八寸，为所求。
用二：有凸，顺收限三尺六寸；凹，侧收限一尺一寸，相切。求：变浅限几何？
答曰：七尺八寸。
法：检表一界率三，乘凸限三尺六寸，得一丈〇八寸，为实。以单率六乘凹侧限一尺一寸，得六尺六寸。减实，余较四尺二寸。以加凸顺限三尺六寸，得七尺八寸，为所求。
用三：有凸，顺收限二尺三寸，变浅限五尺，求：相切之凹侧收限几何？
答曰：七寸。
法：检表一界率三，乘凸限二尺三寸，得六尺九寸，为实。以变浅限五尺减之，余较一尺九寸。以加凸顺限二尺三寸，得四尺二寸，为凹深限。爰以单率六除之，得七寸，为所求。
用四：有凸，侧收限五寸五分，变浅限七尺八寸，求：相切之凹侧收限几何？
答曰：九寸。
法：检表一界率三，乘凸限五寸五分，得一尺六寸五分。以单率六乘之，得九尺九寸，为实。以变浅限七尺八寸减之，余较二尺一寸。以加凸顺限三尺三寸，得五尺四寸，为凹深限。爰以单率六除之，得九寸，为所求。
用五：有凸，变浅限一丈，相切之凹侧收限一尺，求：原凸顺收限几何？
答曰：四尺。
法：检表一界率三，加一数，得四，为法。以单率六乘凹侧限一尺，得六尺。加变浅限，得一丈六尺，为实。法除实，得四尺，为所求。
附：天元〔2〕细草〔3〕
草曰：立天元一为〔4〕凸顺限，得〔5〕。以界率三乘之，得。以变浅限减之，得〔6〕。加一天元，得。寄左〔7〕。乃以单率六乘凹侧限一尺，得六尺，为同数〔8〕。消左〔9〕，得。下法上实〔10〕，除之，得原凸顺限。〔11〕
用六：有凸，变限七尺八寸，相切之凹侧收限九寸，求：原凸侧收限几何？
答曰：五寸五分。
法：检表一界率三，加一，得四，为法。以单率六除变浅限七尺八寸，得一尺三寸。加凹侧限九寸，得二尺二寸，为实。法除实，得五寸五分，为所求。
附：天元细草
草曰：立天元一为凸侧收限，得。以界率三乘之，得式。以单率六除变限，得一尺三寸，减式，得下。加天元，得。寄左。乃以凹侧收限九寸为同数。消左，得。下法上实，除之，得原凸侧收限。〔12〕
一系：凹求变浅，检表二，仿此求之。
【注释】
〔1〕该表的“表一”表示f凸与f凹之比为1:2，即凸深凹浅时，互相密接的结果相当于凸透镜变浅，变浅限（组合焦距）计算法为：以f凸乘“界率3”，减去f凹，为变浅程度；再加上f凸，为变浅后的组合焦距。“表二”为凹深凸浅时的凹变浅限。详见“圆叠”第十二条。
〔2〕天元：中国古代数学列方程方法“天元术”的简称。
〔3〕细草：意为“详细草稿”，传统算学中的详细布算过程（出现于宋元时期）。天元术脱胎于筹算开方式，所以天元细草为用算筹布列方程的过程。
〔4〕立天元一为：天元术专门用语。将要求的未知数立为天元一，相当于今天所说设未知数为x。
〔5〕从书中的几个天元草看，郑复光采用的列方程格式和术语，与天元术的创建者（宋）李冶所用一样。常数项旁边标“太”，一次幂项旁边标“元”。向上每层减少一次幂，向下每层增加一次幂。为省略“太”字和“元”字的列式，表示常数项为零，一次幂项系数为1，即x。
〔6〕：带一撇的算筹表示为负，此筹相当于-10+3x。
〔7〕寄左：天元术专门术语。将运算所得的中间结果（一般为多项式）放在左边。
〔8〕同数：天元术专门术语。指与左边多项式相等的另一个数或另一个多项式。前面处理的都是多项式，到“以某某为同数”这一步，得到方程。
〔9〕消左：天元术专门术语。将方程等号两边的所有项全部移到右边，使左边为零。此处相当于得到：，但算筹只摆出，表示上面为-16，下面为4，与现代算式含义相同。即相当于将不含未知数的项全部移项到右边，得到一个未知数的计算式。
〔10〕下法上实：以分数的分母为法（除数）、分子为实（被除数）。
〔11〕以上天元术列方程步骤如下：
立天元一为凸顺限，得：设凸顺收限为x
以界率三乘之，得式：3x
以变浅限减之，得：-10+3x
加一天元，得。寄左：-10+4x
乃以单率六乘凹侧限一尺，得六尺，为同数：-10+4x=6
消左，得。下法上实，除之，得原凸顺限：
右边方框内为16÷4的笔算草稿。第三行为被除数16，第五行为除数4，第一行为商数4。第二行为商数4乘除数4得到的结果16，用来减去被除数16，旁边加一撇表示负号。第四行的两个零，表示此次减法得数为零，即除尽。
〔12〕上草中，“得式”的“式”和“得下”的“下”均为“下式”的简称。“减式”为“减上式”。其天元术列方程步骤如下：
立天元一为凸侧收限，得：设凸侧收限为x
以界率三乘之，得式：3x
以单率六除变限，得一尺三寸。减式，得下：-130+3x
加天元，得。寄左：-130+4x
乃以凹侧收限九寸，为同数：-130+4x=90
消左，得。下法上实，除之，得原凸侧收限：
右边方框内为220÷4的笔算草稿，分为20÷4和200÷4两步。右列为第一步，求得个位数商为5。左列为第二步，200仍记为20，将负号（一撇）前移一位表示百位，将第一步求得的个位数商置于此时的个位数商位置，在十位数位置求得十位数商为5。最后得数为55（寸）。
【译文】
凸凹相切变浅限率表
一旦到界则恰如平镜，平镜就没有限。但既然用来作为界，那就没有限但有数值。于是取来设为界率，以待发挥它的作用而已。
应用一：有一枚凸透镜，侧收限为4寸；一枚凹透镜，侧收限为8寸，互相紧贴。求：变浅限为多少？
答：4尺8寸。
求法：查表一界率得到3，乘凸透镜侧收限4寸，得1尺2寸。减去凹透镜侧收限8寸，剩余差数4寸。以它加上凸透镜侧收限4寸，得8寸，为侧收限数。然后以单率6乘它，得4尺8寸，为要求的结果。
应用二：有一枚凸透镜，顺收限为3尺6寸；一枚凹透镜，侧收限为1尺1寸，互相紧贴。求：变浅限为多少？
答：7尺8寸。
求法：查表一界率得到3，乘凸透镜顺收限3尺6寸，得1丈零8寸，为被减数。以单率6乘凹透镜侧收限1尺1寸，得6尺6寸。与被减数相减，剩余差数4尺2寸。以它加上凸透镜顺收限3尺6寸，得7尺8寸，为要求的结果。
应用三：有一枚凸透镜，顺收限为2尺3寸，变浅限为5尺，求：与之叠加的凹透镜的侧收限为多少？
答：7寸。
求法：查表一界率得到3，乘凸透镜顺收限2尺3寸，得6尺9寸，为被减数。以变浅限5尺与它相减，剩余差数1尺9寸。以它加上凸顺收限2尺3寸，得4尺2寸，为凹透镜深限。然后以单率6除它，得7寸，为要求的结果。
应用四：有一枚凸透镜，侧收限为5寸5分，变浅限为7尺8寸，求：与之叠加的凹透镜的侧收限为多少？
答：9寸。
求法：查表一界率得到3，乘凸透镜侧收限5寸5分，得1尺6寸5分。以单率6乘它，得9尺9寸，为被减数。以变浅限7尺8寸与它相减，剩余差数2尺1寸。以它加上凸透镜顺收限3尺3寸，得5尺4寸，为凹透镜深限。然后以单率6除它，得9寸，为要求的结果。
应用五：有一枚凸透镜，变浅限为1丈，与之叠加的凹透镜的侧收限为1尺，求：原先凸透镜的顺收限为多少？
答：4尺。
求法：查表一界率得到3，加上1，得4，作为除数。以单率6乘凹透镜侧收限1尺，得6尺。加变浅限，得1丈6尺，作为被除数。除数除被除数，得4尺，为要求的结果。
附：天元细草
草：立天元一为凸透镜顺收限，得。以界率3乘它，得。与变浅限相减，得。加上一个天元，得。放在左边。就以单率6乘凹透镜侧收限1尺，得6尺，为［右边的］相等数。进行消去左边的变换，得。下为除数、上为被除数，做除法，得出原先凸透镜的顺收限。
应用六：有一枚凸透镜，变浅限为7尺8寸，与之叠加的凹透镜的侧收限为9寸，求：原先凸透镜的侧收限为多少？
答：5寸5分。
求法：查表一界率得到3，加1，得4，作为除数。以单率6除变浅限7尺8寸，得1尺3寸。加凹透镜侧［收］限9寸，得2尺2寸，作为被除数。除数除被除数，得5寸5分，为要求的结果。
附：天元细草
草：立天元一为凸侧收限，得。以界率3乘它，得下式：。以单率6除变浅限，得1尺3寸。减上式，得下式：。加天元，得。放在左边。就以凹透镜侧收限9寸为［右边的］相等数。进行消去左边的变换，得。下为除数、上为被除数，做除法，得出原先凸透镜的顺收限。
一系：求凹透镜变浅，查表二，仿照以上算法求取。
五
凸凹相离变显限率表〔1〕
用一：有凸，顺收限九寸六分，求：加凹得变显限足距，问凹侧收限几何？
答曰：八分。
法：以凸率一二为一率，凹率一为二率，今凸限九寸六分为三率，得四率，即所求。此用表二之率。
又法：置凸顺限，二归、又六归，即得。盖凸顺限二归之为凹深限，故以单率六归之得凹侧限也。此用表一之率。
用二：有单凹，侧收限三寸，求：加凸得变显限足距，问凸顺收限几何？
答曰：三尺六寸。
法：以凹率一为一率，凸率一二为二率，今凹侧限三寸为三率，得四率，即所求。
又法：置凹侧限，六因、二因，即得。
用三：有单凹，侧收限三寸；凸，顺收限九寸六分。求：差距变显限几何？
答曰：二寸五分六厘。
法：先求足距同用一。以定率一二为一率，定率一为二率，今凸限九寸六分为三率，得四率八分，为足距之凹侧限。爰以今凹侧限三寸为一率，足距八分为二率，今凸顺限九寸六分为三率，得四率，即所求。
用四：有凸，顺收限九寸六分，知差距变显限二寸五分六厘，求：原凹侧收限几何？
答曰：三寸。
法：先同用一，求得足距八分。爰以变显限二寸五分六厘为一率，凸限九寸六分为二率，足距八分为三率，得四率，即所求。
用五：有单凹，侧收限四寸，知差距变显限二尺七寸，求：原凸顺收限几何？
答曰：三尺六寸。
法：先同用二，求得足距凸顺限四尺八寸为首率，变显限二尺七寸为末率。用连比例法〔2〕，以首率、末率相乘，得十二尺九十六寸〔3〕。开平方，得中率三尺六寸，即所求。
附：天元术草〔4〕
术曰：以定率一二乘凹限，与变限相乘，为正实〔5〕。从空〔6〕。一为负隅〔7〕。平方开之〔8〕。
草曰：立天元一为凸限。以定率一乘之，得。合以定率除之，不除，便为足距内寄为母。〔9〕又以凸限乘之，得。合以凹限除之，不除，便为差距内寄为母。寄左。以两母相通〔10〕，得。以变限距得，为同数。相消，得。开平方。〔11〕
【注释】
〔1〕该表仅表示郑复光规定的伽利略式望远镜的足距定率，表一指凹透镜侧收限和凸透镜侧收限的比率为1:2，表二指凹透镜侧收限和凸透镜顺收限的比率为1:12。根据我们在“圆叠”第十三条注中的分析，这些数据没有实际意义。
〔2〕连比例法：指通过比例式a:x=x:b求x。a为“首率”，b为“末率”。x2=a·b，开平方求之。
〔3〕“九十六寸”应作“九寸六”。
〔4〕此处和以下“天元术草”分为“术”和“草”。“术”为列方程所得的最后开方式，“草”为用算筹布列方程的详细过程。
〔5〕正实：中国古代称方程中的常数项为“实”，“正实”为正数的实。
〔6〕从空：中国古代称方程中的一次幂系数为“从”（纵），又叫方、从方、从法。“从空”意为从为零。
〔7〕负隅：中国古代称方程中的最高次幂系数为“隅”，又叫法、隅法、常法。“负隅”为负数的隅。
〔8〕平方开之：即开平方。中国古代将开平方（x2=a）和解一般的二次方程（ax2+bx+c=0，即隅不为1，从不为空）都叫做开平方。此术所列方程为：-x2+1 296=0。
〔9〕“合”意为“本该”，这个x本该要用12除，才是足距侧收限。但是在筹算中，每一步都摆出分母是很不方便的，所以将分母寄在旁边，叫做“内寄某某为母”，以待后来进行去分母计算。 “不除，便为足距”：省语，“便”下省“以之”，“为”下省“带分”。意为本该要除，但是先不除，姑且以它为带着分母的足距侧收限。这种术语与李冶《测圆海镜》中的一致。李冶在该除而先不除时往往说“不受除，便以此为某某”，同时必注明“内带某某为分母”，相当于郑复光说“内寄某某为母”。内，内部，其中。寄，寄存，存放。母，分母。
〔10〕通：通分运算之类的等量变换叫做“通”。
〔11〕以上天元草是根据“圆叠”第十三条中的公式列方程。公式为。其中，为凹透镜足距侧收限，为凹透镜差距侧收限，L差为差距变显限，L足为足距变显限。由于在筹算列式中，最后要以L差为同数，故变换为。四项中两项为已知数，。另外两项中含有未知数f足=x。按“定率”规定，。按足距规定，L足=f足=x。于是得：。这样一个列式在今天很方便，但在筹算中需要逐一布列。其步骤如下：
立天元一为凸限。以定率一乘之，得：设f足=x，乘1，得x。
合以定率除之，不除，便为足距内寄为母：本该以定率12除天元x，即为足距侧收限，但是先不除，姑且以它为带着分母的足距侧收限。这一步得到，分母12寄在旁边。
又以凸限乘之，得：。
合以凹限除之，不除，便为差距内寄为母。寄左：本该以4除上式，即为差距镜筒长，但是先不除，姑且以它为带着分母的差距。把分母4寄在旁边。此时得到，把这个中间结果放在左边。
以两母相通，得：用两个分母乘两边，左边分母消去，右边为48。
以变限距得，为同数：“距”下疑脱“乘之”。右边再乘上差距变显限27，得到方程x2=1 296。
相消，得。开平方：进行消去左边的变换，得：-x2+1 296=0。解方程。表示常数项为1 296，表示一次幂项为零，表示二次幂项系数为-1。
右边方框内为开平方笔算稿。先列出上、中、下三栏。上为常数项即正实1 296。中为一次幂系数，为零，故称“空从”。下为二次幂的负系数即负隅，为-1。其开方法和今天是一致的：
右列，因302＜1 296＜402，估得初商为30。将30置于正实1 296上面。将30乘负隅，得-30，置于空从下面。再置30于其下。二者相乘得-900，置于正实之下，与之相加，得396。以初商30乘2、乘负隅，得-60，置于从栏最下面，预备作为下一步的从。因其为负数，在下一步中称负从。
左列，为求次商（即根的个位数），另起一式进行计算。此时被开方数即正实为396，负从为-60，负隅为-1。估计次商，因60×6＜396＜60×7，估得次商为6，置于正实396上面个位数的位置。以6乘负隅，得-6，置于负从之下，与之相加，得-66，置于从栏下一行，作为除数。以次商6乘除数-66，得-396，置于正实之下，与之相加，得零，为除尽，即开方开尽。初商30加次商6，得36，为最后所得的根。
中国古代的开方术，最初带有几何思维模式。将被开方数视为某个面积，将要求的根视为边长。如图71，根由初商a和次商b构成。即，边长为a+b，面积为a2+2ab+b2。上述开方，面积为1 296，即a2+2ab+b2=1 296。a为使a2最接近1 296的整数，即初商。试得初商为30，得60b+b2=396。60b的几何意义为图中的两个长方形，故60称“从方”。因从方为两个a·b，故第二步的从（一次幂系数）为2乘a（2×30=60）。b为使60b最接近396的整数，试得6，开尽。
图71
【译文】
凸凹相离变显限率表
应用一：有一枚凸透镜，顺收限9寸6分，求：加上凹透镜得变显限足距，问凹透镜侧收限为多少？
答：8分。
求法：以凸透镜定率12为一率，凹透镜定率1为二率，当前凸透镜顺收限9寸6分为三率，求得四率，即为要求的结果。这是用表二的比率。
另一求法：设定凸透镜顺收限，以2除、再以6除，即得。因为凸透镜顺收限被2除就是凹透镜深限，所以以单率6去除就得到凹透镜侧收限。这是用表一的比率。
应用二：有一枚单凹透镜，侧收限3寸，求：加上凸透镜得变显限足距，问凸透镜顺收限为多少？
答：3尺6寸。
求法：以凹透镜定率1为一率，凸透镜定率12为二率，当前凹透镜侧收限3寸为三率，求得四率，即为要求的结果。
另一求法：设定凹透镜侧收限，乘6、乘2，即为要求的结果。
应用三：有一枚单凹透镜，侧收限3寸；一枚凸透镜，顺收限9寸6分。求：差距变显限为多少？
答：2寸5分6厘。
求法：先按“应用一”的方法求出足距侧收限。以定率12为一率，定率1为二率，当前凸透镜顺收限9寸6分为三率，求出四率为8分，为足距的凹透镜侧收限。然后以当前凹透镜侧收限3寸为一率，足距侧收限8分为二率，当前凸透镜顺收限9寸6分为三率，求出四率，即为要求的结果。
应用四：有一枚凸透镜，顺收限9寸6分，已知差距变显限为2寸5分6厘，求：原先凹透镜的侧收限为多少？
答：3寸。
求法：先按“应用一”的方法，求得足距侧收限8分。然后以变显限2寸5分6厘为一率，凸透镜顺收限9寸6分为二率，足距侧收限8分为三率，求出四率，即为要求的结果。
应用五：有一枚单凹透镜，侧收限为4寸，已知差距变显限为2尺7寸，求：原先凸透镜的顺收限为多少？
答：3尺6寸。
求法：先按“应用二”的方法，求得足距凸透镜顺收限4尺8寸为首率，变显限2尺7寸为末率。用连比例法，以首率、末率相乘，得12尺9寸6。开平方，得中率3尺6寸，即为要求的结果。
附：天元术草
术：以定率12乘凹侧收限，与变显限相乘，作为正实。从空。1为负隅。开平方。
草：立天元一为凸透镜顺收限。以定率1乘它，得。应该以定率除它，先不除，就以它为［带分母的］足距［凹透镜侧收限］含有寄存的为分母。再以凸透镜顺收限乘它，得。应该以凹透镜侧收限除它，先不除，就以它为［带分母的］差距含有寄存的为分母。放在左边。以两个分母通乘［两边］，得。以变显限长度［乘它］，得，为［右边的］相等数。左右相消，得。开平方。
六
相切变深限率表〔1〕
半甲限即甲倍限。圆叠二十二论注。明其理曰：甲倍限，据其数曰半甲限。
用一：有甲加乙凸，顺收限甲四寸、乙一尺六寸，问：变深限？
答曰：三寸五分。
法：以甲除乙，得四倍，为法。乃检表一，其半甲限五，谓之半率五，入后止称半率，五从省。以折甲限，得二寸。即以减乙限，余较一尺四寸，为实。法除之，为所求。
用二：有单凸甲加乙，侧收限甲二寸、乙四寸，问：变深限？
答曰：九寸。
法：以单率六各乘，得顺收限。甲一尺二寸，乙二尺四寸。以用一法入之〔2〕，得所求。
又法：以甲除乙，得二倍，为法。以半率五折甲限，得一寸。即以减乙四寸，余较三寸，为实。法除之，得一寸五分，为侧限中数。以单率六乘之，亦得。
用三：有双凸甲加乙，侧收限甲一寸、乙五寸，问：变深限？
答曰：三寸六分。
法：以双率四各乘，得顺收限。以用一法入之，得所求。
又法：求得侧收限中数九分，以双率四乘之，亦得。即用二又法。
用四：有畸凸甲加乙，侧收限甲正面六分、副面一寸二分，乙正面二寸、副面三寸。问：变深限？
答曰：二寸五分。
法：先各求其顺收限。法详圆率一之用四。求得甲顺限三寸，乙顺限九寸。爰以甲三寸除乙九寸，得三倍，为法。以半率五折甲限三寸，得一寸五分。即以减乙限九寸，余较七寸五分，为实。法除之，得所求。此即用一之法。
一系：有单凸加双或畸，及有双凸加畸，法皆先求其顺限，以用一法入之。至于单、双互变，畸例双、单，详圆率一，变通在人，兹不备具。
用五：有变深限二寸，甲凸顺限三寸，问：乙顺限？
答曰：四寸五分。
法：以半率五折甲限，得一寸五分。以乘甲限，得四尺五寸，为实。副〔3〕以变深限二寸，减甲限三寸，余较一寸，为法。除之，得所求。
附：天元术草
术曰：以变限减甲限，余一寸，为一率；以半率五折甲限，得一寸五分，为二率；甲限三寸为三率。推得四率，即乙限。〔4〕
草曰：立天元一为乙限，得。合以甲限卅分除之，不除，便为倍数内寄为母。副置甲限，半之，得，为半甲限。以母通之，得，为带分〔5〕半甲限。以母通天元，得，为带分乙限。内减带分半甲限，得，为带分较数〔6〕，为实。以倍数天元除之，得，为变深限。寄左。以变深限为同数。消左，得。下法上实，合问。〔7〕
论曰：此法，用天元如常，而前有寄母、后不寄母〔8〕，及改寸为十分，最易眩惑，故为解之：
本法〔9〕求较，用半率五以折甲限三寸，则得一寸五分，是不得不改寸为分，以就单位也。至寄母三十分，本寄于天元内，后复以天元除带分数，则所寄之母即已消去，故寄左数遂无寄母也。试取较，改草曰：
合以天元法除之，不除，便为变深限内寄天元为母。寄左。副置变深限，以天元母通之，得，为同数。消左，得。与前法同。〔10〕
用六：有变深限九寸六分，乙凸顺收限三尺，问：甲顺收限？
答曰：一尺二寸。
法：以乙顺限三尺乘变限九寸六分，得二百八十八尺，为负实。乙顺限三尺为正从。半率五厘题以分为单位，故半率当退位为厘。为负隅。以和数〔11〕平方开之，得所求。〔12〕
附：天元草
草曰：立天元一为甲顺限。以除乙顺限，得式：，为倍数，为上法〔13〕。副置天元，半之，得〔14〕，为半甲限。以减乙顺限，得，为较数，以为实。合以上法除之，不除，便为带分变深限数内寄上法为母。寄左。副置变深限，以母通之，得，为同数。消左，得和数。平方开之〔15〕，合问。〔16〕此开得第一数也，第二数四尺八寸无用。〔17〕
用七：有子、丑两单凹侧收限，求变深。法与求凸用二同。求凹俱与求凸同。余仿此。
用八：有子、丑两双凹侧收限，求变深。法如用三。
用九：有子、丑两畸凹各面侧收限，求变深。法如用四。以凹深限虚率当凸顺限数算。
一系：凹无顺限，无缘得有变深数以求子或丑也，如虚设数为问，则依用五、用六法求之，无容设例矣。
【注释】
〔1〕如同变浅限的关键常数是“界率3”一样，变深限的关键是“半甲限”。只要用相叠加的两枚透镜的焦距比作为“倍数”去除“半甲限”，即得变深程度，即组合焦距比甲的焦距短的那一段。故表中数据给出甲、乙两凸同深（均为10）时的半甲限为5。子、丑两凹同深亦仿照两凸。半甲限也表示顺收限不等于10而等于其他数值时，也将其折半。
〔2〕以用一法入之：意为按“应用一”的计算法进行计算。
〔3〕副：“副置”的简称。副置：（唐）李籍《九章筭术音义》解释说：“别设筭位，有所分也。”意为在旁边另外进行一项相关计算时的第一步，另外布置一个数。李籍语引自郭书春《九章筭术译注》。
〔4〕此术为根据比例式来求取f2。即通过10:15=30:x，求得x=45。右边方框内“三〇”和“一五”两个数据的位置互换，为误刻。
〔5〕带分：“带有［被寄存的］分母”的省文。
〔6〕此处的“数”不是一个数值而是多项式。后文中的“寄左数”也是指放在左边的多项式。放在右边的“同数”既可为一个数值，亦可为一个多项式。“较数”既可为两数相减所得的一个数值，亦可为一个相减的多项式。
〔7〕以上“天元草”为根据“圆叠”第二十二条注〔9〕中的公式来列方程。步骤如下：
立天元一为乙限，得：设未知数乙限为x。
合以甲限卅分除之，不除，便为倍数内寄为母：这一步是布置这个“倍数”，此时f2为未知数x。x本该被f1（30）除，才是倍数，但先不除，就以它为带着分母的倍数，把分母30寄放在旁边。这一步得到倍数为。
副置甲限，半之，得，为半甲限：另外布置甲限，取其一半，为，得15。
以母通之，得，为带分半甲限。以母通天元，得，为带分乙限：这一步最有迷惑性，郑复光在后面也说“最易眩惑”，相当于以分母30分别乘半甲限15（即）和天元x（即f2），同时又让它们都带上分母30。在现在看来等于以30乘、以30除，什么也没有做。但在筹算中，一开始就寄放了一个分母，最后总要消掉，所以在消掉之前就要带上。以分母30乘半甲限，得450，为带着分母30的半甲限（算筹只摆出，即450）；乘天元得30x（算筹在太位下为一次幂），为带着分母的乙限。
内减带分半甲限，得，为带分较数，为实：以带分乙限减带分半加限（即-），得，为带着分母的差数（即相减式）。在算筹式中，分母30不摆出来而寄在旁边。
以倍数天元除之，得，为变深限。寄左：这一步做完整个分数多项式。即以倍数（即）除，寄存的分母30在此时消去，得，为变深限。算筹式中（30）在太位为常数，（-450）在上面一行为负一次幂。将这个表示变深限的多项式放在左边。
以变深限为同数。消左，得：上面寄左的多项式与已知的变深限20相等，得到方程，进行消去左边的变换，得：。
下法上实，合问：以下面的法数（除数）10除上面的实数（被除数）450，所得符合所问。
〔8〕前有寄母、后不寄母：指前面以甲限30除天元时寄存分母，而后面以带所寄分母的天元除带分母的相减式时却不寄存分母。实则此时分母已消去，无所寄。
〔9〕本法：指上述解法为基本解法，系相对于下面的解法为变法而言。本，基本，原本。
〔10〕从相减式-450+30x这一步开始，改变算法，另起算草为：
本该以天元x为除数（法）去除上式，则表示变深限，但是先不除，就以上式为带着分母的变深限，将分母天元x寄在旁边。将所得多项式放在左边。另外布置变深限20（于右边），以分母天元x同时乘左右两边，左边寄存的分母在此时消去，得等式：-450+30x=20x。进行消去左边的变换，得：。与前面的方法所得一致。
〔11〕和数：各个数相加所得的项。既可为几个数相加所得的一个数值，亦可为一个相加的多项式。
〔12〕此“法”为方程-0.5x2+300x-28 800=0。
〔13〕上法：“法”为除数，此数为稍后要用到的除数，故“上法”为预先得到的法（除数）。
〔14〕在这个算筹符号中，“元”在左，表示0.5x。若“元”在右，则为5x。
〔15〕古代将解一元二次方程也叫做开平方。
〔16〕以上“天元草”为列出方程：。其中f1=x，f2=300，F=96。列方程步骤如下：
立天元一为甲顺限：设甲顺限为x。
以除乙顺限，得式：，为倍数，为上法：以x除乙顺限，得，为变深限的倍数，作为预留的法数（除数）。
副置天元，半之，得，为半甲限：另外布置天元x，取其一半，得0.5x（即），为半甲限。
以减乙顺限，得，为较数，以为实：以半甲限与乙顺限相减，得300-0.5x，为变深限的差数，作为被除数。
合以上法除之，不除，便为带分变深限数内寄上法为母。寄左：本该以上法除上式，即为变深限，但先不除，就以它为带分母的变深限，将分母寄在旁边。将整个式子放在左边。这一步得到。
副置变深限，以母通之，得，为同数：将变深限96置于右边，两边同乘300以去分母，右边得28 800，作为与左边相等的数。
消左，得和数。平方开之，合问：进行消去左边的变换，（右边）得到多项式各项之和（左边为零，左右相等）。按今天的习惯，左右与古代相反，得方程：-0.5x2+300x-28 800=0。解方程，所得符合所问。
右边方框内为解一元二次方程-0.5x2+300x-28 800的笔算列式。
右列，上为常数项即负实-28 800，中为一次幂系数即正从300，下为二次幂的负系数即负隅-0.5。因1002＜28 800＜2002，估得初商为100。将100置于负实-28 800上面。将初商100乘负隅-0.5，得-50，置于正从300下面，与之相加，得余从250。以初商乘余从，得25 000，置于负实之下，与之相加，得-3 800。再以初商100乘负隅-0.5，得-50，置于余从250之下，与之相加，得200，预备作为下一步的从。
左列，为求次商，另起一式进行计算。此时被开方数即负实为-3 800，从为200，负隅为-0.5。估计次商为20。以20乘负隅-0.5，得-10，置于从下，与之相加，得190。以次商乘190，得3 800，置于负实之下，与之相加，得零。开尽。初商100加次商20，得120，为要求的根。
由上可知，中国古代的开平方运算与解一元二次方程运算，是同一个程序，故一律称作开平方。像此题这种一次幂项不为零的情况，又称“带从开平方”。
〔17〕上述方程有两个根，另一个为x=420，这个根对于上述应用题的题意来说无用。
【译文】
相切变深限率表
半甲限就是甲倍限。“圆叠”第二十二条论注。道理讲明了就是：甲倍限，从数值上说就叫半甲限。
应用一：有甲、乙凸透镜组合，顺收限甲4寸、乙1尺6寸，问：变深限为多少？
答：3寸5分。
求法：以甲顺收限除乙顺收限，得4倍，作为除数。然后表一，其半甲限为5，称之为半率5，以下只称半率，5从略。以它将甲顺收限折半，得2寸。就以它与乙顺收限相减，剩余差数1尺4寸，作为被除数。以除数除它，为要求的结果。
应用二：有单凸透镜甲和乙的组合，侧收限甲2寸、乙4寸，问：变深限为多少？
答：9寸。
求法：以单率6分别乘侧收限，得出顺收限。甲1尺2寸，乙2尺4寸。以“应用一”的解法求解，就得到要求的结果。
另一求法：以甲侧收限除乙侧收限，得2倍，作为除数。以半率5将甲侧收限折半，得1寸。就以它与乙侧收限4寸相减，剩余差数3寸，作为被除数。以除数除它，得1寸5分，为侧收限的中间数。以单率6乘它，也能得出结果。
应用三：有双凸透镜甲和乙的组合，侧收限甲1寸、乙5寸，问：变深限为多少？
答：3寸6分。
求法：以双率4分别乘侧收限，得出顺收限。以“应用一”的解法求解，就得到要求的结果。
另一求法：求得侧收限中间数9分，以双率4乘它，也能得出结果。即“应用二”的另一解法。
应用四：有畸凸透镜甲和乙的组合，侧收限甲正面6分、副面1寸2分，乙正面2寸、副面3寸。问：变深限为多少？
答：2寸5分。
求法：先分别求出它们的顺收限。求法详见“圆率”第一条的“应用四”。求得甲顺收限为3寸，乙顺收限为9寸。然后以甲顺收限3寸除乙顺收限9寸，得3倍，作为除数。以半率5将甲［顺收］限3寸折半，得1寸5分。就以它与乙顺收限9寸相减，剩余差数7寸5分，作为被除数。以除数除它，就得到要求的结果。这就是“应用一”的解法。
一系：如果碰到单凸透镜加双凸透镜或畸凸透镜，以及双凸透镜加畸凸透镜的情况，方法都是先求出它们的顺收限，以“应用一”的解法求解。至于单、双互相换算，畸例比双、单，详见“圆率”第一条，变通在于人为，此处不再一一列举。
应用五：有变深限2寸，甲凸透镜顺收限3寸，问：乙凸透镜顺收限为多少？
答：4寸5分。
求法：以半率5将甲顺收限折半，得1寸5分。以它乘甲顺收限，得4尺5寸，作为被除数。另以变深限2寸，与甲顺收限3寸相减，剩余差数1寸，作为除数。除数除被除数，就得到要求的结果。
附：天元术草
术：以变深限与甲顺收限相减，剩余1寸，作为一率；0以半率5将甲顺收限折半，得1寸5分，作为二率；甲顺收限3寸为三率。推得四率，即乙顺收限。
草：立天元一为乙顺收限，得。本该以甲顺收限30分除它，先不除，就以它为［带分母的］倍数含有寄存的为分母。另外布置甲顺收限，取其一半，得，为半甲限。以分母对它作通分乘法，得，为带有分母的半甲限。以分母对天元作通分乘法，得，为带有分母的乙顺收限。其中减去带有分母的半甲限，得，为带有分母的差数，作为被除数。以倍数天元除它，得，为变深限。放在左边。以变深限为［右边的］相等数。进行消去左边的变换，得。下为除数、上为被除数［进行除法］，所得符合所问。
论：以上解法，为正常运用天元术，但前面寄存分母、后面不寄存分母，还有把1寸改为10分，最容易让人迷惑，所以对此作一点解释：
原本的解法中求差数时，用半率5将甲顺收限3寸折半，结果得1寸5分，这样就不得不改寸为分，以便将就单位。至于寄存的分母30分，本来就寄在天元之中，后来又以天元除带分母的项，所寄的分母就已经消去，所以寄在左边的项就没有寄存的分母了。试从差数这一步将天元草改为：
本该以作为除数的天元去除它，先不除，就以它为［带分母的］变深限含有寄存的天元为分母。放在左边。另外设置变深限，以天元分母通乘［两边］，得，作为［右边的］相等数。进行消去左边的变换，得。与前一方法相同。
应用六：有变深限9寸6分，乙凸透镜顺收限3尺，问：甲凸透镜顺收限为多少？
答：1尺2寸。
求法：以乙顺收限3尺乘变深限9寸6分，得288尺，为负实。乙顺收限3尺为正从。半率5厘题目上以分为单位，所以半率当退位为厘。为负隅。对和数进行开平方运算，得所需结果。
附：天元草
草：立天元一为甲顺收限。以它除乙顺收限，得下式：，为倍数，为预置的除数。另外布置天元，取其一半，得，为半甲限。以它与乙顺收限相减，得，为差数，以它为被除数。本该以预置的除数去除它，先不除，就以它为带分母的变深限数含有寄存的预置除数为分母。放在左边。另外布置变深限，以分母通乘［两边］，得，作为［右边的］相等数。进行消去左边的变换，得和数。开平方，所得符合所问。这是开方所得的第一个数，第二个数4尺8寸无用。
应用七：有子、丑两枚单凹透镜的侧收限，求变深限。解法与求解凸透镜的“应用二”相同。求解凹透镜一律与求解凸透镜相同。其余仿照此例。
应用八：有子、丑两枚双凹透镜的侧收限，求变深限。解法如“应用三”。
应用九：有子、丑两枚畸凹透镜的各面侧收限，求变深限。解法如“应用四”。把凹透镜深限虚率当作凸透镜顺收限数来计算。
一系：凹透镜没有顺限，无由从变深限数来求子或丑的限，如果虚设数值来提问，则依照“应用五”、“应用六”的解法求解，无须再设置例题了。